2019 Fiscal Year Annual Research Report
Gepmrtic study of quantum groups and its applications
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16K05055
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
斉藤 義久 立教大学, 理学部, 教授 (20294522)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子包絡環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間を通じトロイダル・リー代数(LTA)，およひ量子トロイダル代数(QTA)の構造論に関する研究を行った. QTAは,近年理論物理学,特に素粒子論との関連から注目されている代数であるが ,半単純Lie代数やKac-Moody Lie代数の場合に用いられた既存の方法論がほとんど役に立たないため,これまで組織的な研究はほとんど行われていなかった.報告者はこの点に着目し,QTAの構造論をルート系の立場から組織的に研究した.得られた成果は次の通りである.
(1) 楕円ルート系を用いたQTAの構成：楕円ルート系と呼ばれるルート系の拡張概念を用いて，QTAの有限個の生成元と基本関係式による表示を得た．また楕円Artin群のQTAへの作用，およびモジュラー群の作用についてついて調べた．ここで，楕円Artin群とは，楕円図形と呼ばれる有限有向グラフのデータから，有限個の生成元と基本関係式に定まる群で，既存のルート系の場合のアルティン群（ブレイド群と呼ばれる場合もある）の，楕円アナロジーである．
(2) (1)の研究の過程で現れた楕円Artin群とモジュラー群の関係について，幾何学的な立場から研究を行なった．具体的な成果は以下の通りである．
・楕円ルート系に付随して現れる楕円正則軌道空間の基本群として，楕円ルート系に付随するブレイド群（楕円Artin群）を捉えることに成功した．
・楕円Artin群へのモジュラー群の作用： これは今年度に行なった研究である．楕円正則軌道空間の幾何学的構造の反映として，各ルート系に依存して定まるある有限群がモジュラー群の作用をコントロールしていることが分かった．こうした現象は，既存のルート系（Kac-Moodyリー代数に付随するルート系）には無かった全く新しい現象であり，今後のこの分野の研究の基礎になる成果が得られたと考えている．
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