2016 Fiscal Year Research-status Report
Hilbert 保型形式のShimura対応とその応用
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16K05056
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| Research Institution | Mie University |
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Principal Investigator |
露峰 茂明 三重大学, 教育学部, 教授 (70197763)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Hilbert 保型形式 / Shimura 対応 / Eisenstein 級数 / 平方数の和 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半整数の重さを持つ Hilbert 保型形式の Shimura 対応の基礎部分となる理論を作り上げ Preprint の形にした．重さが5/2 以上の場合は常に整数の重さを持つ Hilbert 保型形式に対応を持つことが示された．また，重さが 3/2 のときは theta 級数と Hilbert-Eisenstein 級数の積の形となる Hilbert 保型形式については整数の重さを持つ Hilbert 保型形式に対応を持つことが示された．重さが 3/2 のときも無条件に対応を持つと予想されるがまだ手立てが見つかっていない．重さが 3/2 の場合は部分的な結果を得たのみであるが，しかし研究計画にある実２次体上の総虚２次拡大体の類数の計算には，この部分的な結果で十分であると思われる．Preprint "Shimura lifting of Hilbert modular forms" の第一節の theta 級数の変換公式の部分がまだ冗長であると思われる．今後精査をする予定であり投稿はまだしていない．
以前の結果であるが，１変数保型形式の Shimura 対応の応用として，３つの平方数の和についての得た（S. Tsuyumine "Sums of three squares under congruence condition modulo a prime", J. Number Theory 159 (2016)）．与えられた合同条件に従う整数解が，和に書く数が十分大きければ存在するというものであったが，４つ以上の平方数の和については，和に書く数の大きさを具体的に与えて同じ主張が成り立つはずである．半整数の重さの Eisenstein 級数の Fourier 係数の計算および cusp 形式でない保型形式同士の Petersson 内積の計算も行っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
実２次体で判別式が非常に大きくはない範囲においては，２次体の theta 級数の２乗は Eisenstein 級数となる．theta 級数と重さ 1 の Hilbert-Eisenstein 級数の積の志村対応が計算できる状況になったので，theta 級数の３乗はの志村対応を求めることが状況が整ってきたと思われる．これが研究目的の，実２次体上の総虚２次拡大体の類数の計算のキーとなるはずなので，おおむね順調に研究が進展していると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
Hilbert 保型形式の Shimura 対応の基礎的な部分はできたので，判別式がとても大きくはない範囲での実２次体に対応するHilbert modular 曲面 の代数幾何的な性質を調べたいと思う．特に楕円曲線の直積に対応した因子を調べることが，研究目的の，実２次体の総虚２次拡大体の類数を求めることに重要な役割を果たすはずである．できたものの，Hilbert 保型形式の Shimura 対応についての Prerint の theta 級数の変換公式の部分を精査したいと思う．また難しいとは思うが，重さ 3/2 の Hilbert 保型形式の無条件下での Shimura 対応についての考察を進めたいと思う．
1変数保型形式の Shimura 対応の応用として，奇数個の変数を持つ正値２次形式が合同条件下で取る値を調べることが出来るが，この考察も進めたいと思う．様々な保型形式の Petersson 内積を計算する必要がある．これらの知見は，研究目的の実２次体の総虚２次拡大体の類数を求める際にも役に立つはずである．
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| Causes of Carryover |
購入予定の図書が年度内に届かなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
予定の図書を購入する．
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