2018 Fiscal Year Annual Research Report
Plane partitions from the viewpoint of biorthogonal polynomials
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16K05058
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 平面分割 / 直交多項式 / 数え上げ組合せ論 / 可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平面分割は，数え上げや母関数の計算が厳密に行える組合せ論的オブジェクトのひとつであり，組合せ論や表現論の観点から，また物理学への応用も含めてさかんに研究されている．こうした研究の発展は，数学的に扱いやすい積型の母関数の存在に根ざす部分が大きく，現在でも積型の「よい」和公式の新たな発見が求 められている．本研究の目的は双直交多項式などの道具を用いて平面分割のよい和公式を系統的につくる手法を開発し，それに基づき新たなよい和公式を具体的につくることである．
平成３０年度には，前年度に引き続き，双直交多項式に付随する離散可積分系である離散２次元戸田分子に着目し，その特殊解から平面分割の未知の和公式を導出した．特にq-Jacobi多項式などAskeyスキームに属する古典直交多項式由来の解を用いて，既存のMacMahon母関数やトレース型母関数を拡張するような新しい和公式（分配関数）の構成に成功した．この成果は，平成２８年度にlittle q-Laguerre多項式に関して得られた成果の自然な拡張になっている．また離散２次元戸田分子に対して新しい組合せ論的解釈を与えることにより，同方程式は，平面分割と同類の組合せ論的オブジェクトであるアステカダイヤモンドのタイリングに対しても応用可能であることを明らかにした．特にタイリングの数え上げ公式や母関数などの既知の重要な公式が，離散２次元戸田分子の簡単な特殊解から自動的に導出できることを示した．
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