2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
16K05059
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
山崎 愛一 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10283590)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 有理性問題 / ネーター問題 / 有限群の作用による不変体 / 不分岐コホモロージー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
ネーター問題は、有限群Gが体k上の|G|変数有理関数体に変数の置換として作用するとき、その不変体k(G)はk上有理的（すなわち純超越的）かという問題である。
kが複素数体Cのときは、不分岐コホモロジーH_{nr}^i(C(G),Q/Z)が非自明な場合は有理性問題不成立なことが言える。有限群Gが与えられたとき、不分岐ブラウアー群Br_{nr}(C(G))=H_{nr}^2(C(G),Q/Z)は比較的簡単に計算できるが、三次不分岐コホモロージーH_{nr}^3(C(G),Q/Z)が自明でない場合にH_{nr}^3(C(G),Q/Z)全体を具体的に計算した例は知られていなかった。
そこで、Peyreの方法を工夫改良して計算機で計算できる形にすることにより、|G|=3^5,5^5,7^5の群に対してH_{nr}^3(C(G),Q/Z)を具体的に計算した。|G|=3^5については、未解決であったisoclinism family 7 の場合に H_{nr}^3(C(G),Q/Z) = Z/3Z となり非自明なので有理性問題不成立なことが分かった。これで|G|=243の場合は複素数体上のネーター問題がすべて解決した。|G|=3^5 のときは H_{nr}^3(C(G)) が非自明になるのは isoclinism family 7 の場合だけであるが、|G|=p^5 (p=5,7)のときは、非自明になる isoclinism family は 6,7,10 の３つもあることが分かった。ちなみにこのとき H_{nr}^3(C(G),Q/Z)=Z/pZである。
これらの結果はarXiv:1710.01958に公開済みで、論文として投稿中である。また、H_{nr}^3(C(G),Q/Z)を計算するGAPのプログラムはホームページ上に公開している（ https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yamasaki/Algorithm/UnramDeg3/）ので、興味のある人は誰でもダウンロードして計算してみることができる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要の欄に書いた実績は、Colliot-Theleneから、有利性問題にはH_{nr}^3(C(G),Q/Z)の計算が有効と考えられるとのアドバイスをいただいたことから始まった。2014年頃からこの問題を考え始めたが、当時はまだH_{nr}^3(C(G),Q/Z)を計算できるだけの計算機環境が整っていなかった。
主に2016年と2017年の夏にに台湾大学で、台湾大学のKang先生,新潟大学の星さんと3人で議論して研究を進めた。一番工夫した部分は、Hochschild Serre spectral sequenceを計算機上で具体的に計算できるようにした部分である。それ以外にも、計算量をなるべく減らすための理論的な工夫をした。ちょうどその頃タイミングよく、計算機ソフトGAP上で動くパッケージHAPが改良されたこともあり、約３年がかりでついにH_{nr}^3(C(G),Q/Z)の計算ができるようになった。ただし確実にH_{nr}^3(C(G),Q/Z)が計算できるのは、今のところ|G|が奇数のときに限る。
2018年3月にシンポジウムでColliot-Theleneに会ったのでそのことを話したところ、非常に驚いた様子であった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
|G|が偶数の時にも H_{nr}^3(C(G),Q/Z) が計算できるようにしたい。今回やった|G|が奇数の時の H_{nr}^3(C(G),Q/Z)の計算は、今までの他の結果と比べると格段に高度な理論を使っている。しかし|G|が偶数の時はさらに高度な理論が必要になると考えられる。他にもH_{nr}^4(C(G),Q/Z)の計算も手がけてみたい。
pが5以上の素数の時、|G|=p^5の群でH_{nr}^3(C(G),Q/Z)が非自明になるのはisoclinism family 6,7,10のときであろうと予想されるが、今のところ計算機上で確認できたのはp=5,7のときのみである。これを一般のpの場合に拡張することも一つの目標である。
代数的トーラスのstably equivalent class の分類についても引き続き考えたい。
|
| Remarks |
H_{nr}^3(C(G),Q/Z)を計算するGAPのプログラムを公開している。
|
