2019 Fiscal Year Annual Research Report
Subgroup lattices and prime graphs of finite groups
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16K05062
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
飯寄 信保 山口大学, 教育学部, 教授 (00241779)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限群 / 部分群束 / 表現論 / クイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題に対する重要なモデルと思われるものは有限群Gとその部分群Hの指標環の関係である。これを基に前年度までの研究を踏まえ、次のクイバーのgroup-like表現の概念を導入した：クイバーQの表現Fが、(1)任意の点aに対しF_aは非退化な内積(*,*)_aを持ち、（2）任意の矢a→bに対し(x,F_(a→b) (y))_b=(F_((a→b)^t ) (x),y)_a （任意のx\in F_b，y\in F_a)を満たすときFをgroup-like表現と呼ぶ。また表現Fが各点a\in Q対してF_a に基底B_aが定まっているとき、始点と終点がaであるような道Pに対し、F_Pの行列表現をPのカルタン行列と呼ぶことにする。これまでの成果よりクイバーとそのgroup-like表現の重要な例として3種類を見つけることができた。クイバー2^π(G) ×Spg(G)（Spg(G)はGの部分群束）とその表現をF_((π,H))=R_π (H)，また矢の表現を自然な制限写像と定めるとその重要な例の一つになる。この例で道({p},H)→({},H)→({p},H)に対するカルタン行列はHの標数pに対するカルタン行列と一致する。今年度は、以上のことを整理するとともに次の道に関して考察を行った：(1) ({p},H)→({},H)→({q},H)→({},H)→({p},H) (2) ({p,q},H)→({p},H)→({},H)→({q},H)→({q,p},H)。これについて具体的な計算を行い、次の結果と予想をえた。
定理.（1）及び（2）のカルタン行列は正則である。
予想（1）及び（2）の行列式は整数である。（但しF_(({p},H))の基底として既約p‐ブラウワー指標を取る。）
これらの成果を含め今年度考察した結果は残念ながらプレプリントの状態であり、現在投稿中である。
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