2016 Fiscal Year Research-status Report
量子相互作用の数学解析を通した表現論・数論の展開と深化
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16K05063
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
若山 正人 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40201149)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 表現論 / 数論 / 非可換調和振動子 / ホイン微分方程式 / 量子ラビモデル / 量子相互作用 / 退化スペクトラム / スペクトルゼータ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
D.Braak (Augsburg大学) を招聘し、一瀬孝（金沢大学）に加え、廣川真男 （広島大学）と廣島文生（九州大学）の協力を得て、量子ラビ模型（QRM) 及び Dicke models などに関するスペクトル幅の分布に関するBraak予想を検討した。ただし、現時点ではBraak 予想については未解決である。一方で、Li-Bachelor が数値実験を重ね予想していた「非対称量子ラビ模型において、その非対称性を記述するパラメータが1/2の際に、スペクトルが退化する」という主張を数学的に証明した（なお、このパラメータが 0のときが量子ラビ模型である）。さらに、リー環sl_2表現論の有限次元既約表現を用いて、非対称量子ラビ模型の背後にある対称性を発見した。また、上記のパラメータがより一般の半整数の場合の予想を数学的に定式化し、新たな予想を提出した。さらに、非対称量子ラビ模型の例外型非退化スペクトルと（正則）離散系列表現との関係についても研究を進展させた。
木本一史（琉球大学）との研究において、特殊値研究から現れる Eichler 積分の自然な拡張である Eichler 形式と付随するコモホロジー群ほか、Mahler測度との関係を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Li-Bachelor が数値実験を重ね予想していた「非対称量子ラビ模型において、その非対称性を記述するパラメータが1/2の際に、スペクトルが退化する」という主張を数学的に証明した。さらに、リー環sl_2表現論の有限次元既約表現を用いて、非対称量子ラビ模型の背後にある対称性を発見したこと。さらなる一般的予想を提出したこと。これらを、リー環sl_2表現論を用いた枠組みで定式化したこと。
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| Strategy for Future Research Activity |
非対称量子ラビ模型のスペクトルゼータの解析接続。また、その特殊値の数論的研究の推進。なお、解析接続のみであれば、量子ラビ模型については、杉山真吾 (Nagoya Math. J. 2017) によりなされている。
研究実績でのべた非対称量子ラビ模型の退化予想の解決。
非可換調和振動子のスペクトルの Eichler 形式の観点からの研究の推進。またそれの、離散力学系・Mahler 測度からの研究の推進。
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| Causes of Carryover |
購入予定の書籍が、未出版であったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
表現論・数論・物理関係書籍購入予定。
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