2017 Fiscal Year Research-status Report
量子相互作用の数学解析を通した表現論・数論の展開と深化
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16K05063
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
若山 正人 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40201149)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 表現論 / 数論 / 非可換調和振動子 / ホイン微分方程式 / 量子ラビモデル / 量子相互作用 / 退化スペクトラム / スペクトルゼータ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Daniel Braak (University Augsburg), Murry Bachelor (ANU) らと、非対称量子ラビモデル（ものともとの量子ラビモデルを含む）のスペクトルに対し、その退化性の背後に存在しうる対称性や、Braak 予想についての検討を引き続き行った。同時に、木本一史（琉球大理）とCid Reyes-Bustos（九大数理学府）とともに、前年2016年に研究代表者が提出していたスペクトル（固有値）の退化についての予想に対し、肯定的な解決をみた。その内容は、非対称量子ラビモデルが退化するのは、その非対称性を記述するパラメータが半整数のときに限る」というものである。
なお、 Braak の予想とは異なるが、隣接固有値の分布についての、佐藤・テイト予想型の予想を、沖縄で開催されたゼータ関数シンポジウムでの講演で提出した。その予想は２つの部分からなり、一つ目は、隣接固有値の分布がある確率測度で記述されるであろうというもので、もう一つは、第1番目が正しいとき、その確率密度関数が対称となる必要十分条件は、非対称量子ラビモデルの非対称パラメータが半整数となることである、というものである。この後半の予想は、対称性が陽には見えない非対称量子ラビモデルではあるが、退化固有値が存在する場合には、スペクトルを通して隠れた対称性が存在するということを主張するものでもある。
さらに、量子ラビモデルの熱核の記述に取り組んだ（with Cid Reyes-Bustos）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
概要で述べたスペクトルの退化性の予想解決とともに、非可換量子ラビモデルのスペクトルのゼータ正規化積を、Braak が2011年に導入した G-関数の自然な拡張を用いて記述することにも成功した（研究代表者が2013年に提出した予想）。さらに退化スペクトルの表現論的記述も行った。それらは、K. Kimoto, C. Reyes-Bustos and M. Wakayama:
Determinant expressions of constraint polynomials and degeneracies of the asymmetric quantum Rabi model (59pp). Preprint, arXiv:1712.04152, 2017.
としてまとめ、現在学術雑誌に投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
（非可換）量子ラビモデルの熱核の記述を完遂する。それにより、（非可換）量子ラビモデルのゼータ関数の特殊値の研究に進む。非可換調和振動子の場合には、特殊値から modular form さらには、 Eichler 積分（形式）の拡張が明示的に現れるなど、豊かな数論が展開されつつある。（なお、非可換調和振動子の場合には熱核はもとまっていないが、そのトレースはもとまっていた（Ichinose-Wakayama 2005）。）ここで展開する非可換量子ラビモデルのスペクトルゼータの特殊値の研究により、系の partition function と modular forms との深い関係が見出せるものと期待できる。
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| Causes of Carryover |
購入予定の書籍が、未出版であったため.
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