2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study on the internal structures of the moduli of Galois representations
| Project/Area Number |
16K05064
|
|---|
| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
|---|
Principal Investigator |
田口 雄一郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (90231399)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | ガロア表現 / ヘッケ体 / モジュライ / 有限性 / クムマー忠実体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の最終年度に於いては、ガロア表現の中でも特に、クムマー忠実体のそれに注目して研究した。我々の一般的な研究目的である「どこにどの様なガロア表現がどの様に存在するか」という観点に照らし、先ずはクムマー忠実体の特徴づけを目指した。小関祥康氏と共同で、より一般に、「高次クムマー忠実」な体の arithmetic についての研究を推し進めた。この概念は遠アーベル幾何学に現れるクムマー忠実体の variant であり、数論幾何学に於いて有用なものと思われる。これまでに得られた結果を論文として纏め、現在 arXiv に投稿した段階であり、近々専門誌に投稿する予定である。内容は主に高次クムマー忠実体の分岐理論的特徴付けであり、例えば k を有限次代数体とするとき、分岐が至る所有限である様な k のガロア拡大は高次クムマー忠実である事が証明出来た。応用とし て、例えば k 上の半アーベル多様体 A と自然数 n を固定し、素数 p を動かすとき、A の p^n 等分点の座標を全て k に添加して得られる拡大体は高次クムマー忠実である事が分かる。また、「高次クムマー忠実」「クムマー忠実」「sub-p-adic」という三つの概念の間の関係も明らかにした。この研究に於いて明らかとなつた興味深い事実の一つに次がある：有限次代数体 k の（無限次でもよい）ガロア拡大 K について、K に含まれる k の任意の有限次拡大 k' に対し、K/k' の最大アーベル部分拡大の分岐指数が有限ならば K は高次クムマー忠実 である。この結果は高次クムマー忠実体が類体論と深い親和性を有している事を示唆している様に思われてならない。その他、興味深い結果としては、有限次代数体の類体塔なども高次クムマー忠実である事が分かった。
|
