2018 Fiscal Year Annual Research Report
Various constructions of real analytic automorphic forms on real hyperbolic spaces and their application to various research fields
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16K05065
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
成田 宏秋 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70433315)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 特殊Bessel模型 / 局所Maass関係式 / 保型形式のリフティング / 直交群 / Ramanujan予想の反例 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はこれまでに作った1変数実解析的Maass形式から直交群O(1,(n+1)への実解析的リフティングについて, その非アルキメデス的側面に関する一般論を構築した。具体的には一般の代数体上定義された直交群のアデール群上の保型形式が、一つの非アルキメデス素点において特殊ベッセル模型を持ち、Fourier係数が同じ素点において局所Maass関係式と呼ばれる関係式を満たすと、その保型形式が生成する保型表現は指定した一つの素点において「非緩増加(non-tempered)」であるということを証明した。
この結果の直交群に関する条件は「無限素点で非コンパクト」であれば特に制約はない。また我々の構成したリフトやIV型対称領域上の正則カスプ形式の具体的構成として有名な, Oda-Rallis-Schiffmannリフトもこの定理の適用範囲内にあり, 広いクラスの保型形式をカバーする結果である. また多変数保型形式論において, Ramanujan予想の反例条件を満たすカスプ形式という、保型カスプ表現の分類の困難の原因になっているクラスについて一つの一般的記述を与える結果とも言えるものである.
この結果はOda-Rallis-Schiffmannリフトの非アルキメデス的側面を詳しく記述するために, 菅野孝史氏が導入した局所Whittaker関数の空間のHecke加群としての構造の簡明な記述を与えることから導き出した結果である. この空間は現代的な言葉で言うと「特殊Bessel模型」の概念で理解されるものに他ならない.また今回得た一般論は, 直交群上の保型形式の「特殊Bessel模型」, 「局所Maass関係式」に関する２つの条件を満たす素点での佐武パラメーターの一般的且つ明示的記述も含んでいる.
最後に今回の結果はArthurの内視分類理論ではカバーされていないことを付記しておく.
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