2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05066
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40292073)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有限単純群 / 格子 / 可換代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、置換群の部分群の固定点の集合、行列群の部分群の固定部分空間を用いた群の構造の研究、群の性質を反映する格子の研究、群の作用する可換代数構造の構成を通して群の性質の研究を行っている。本年度は、以下のような結果を得た。
１．前年度に構成した群3S_7が作用する可換代数では、その積構造がヘキサコードと関係して得られる。3S_7の作用する可換代数はその自己同型群が決定されていない。代数の次数が小さいので様々な性質が計算可能であり、大きな次数の可換代数の構造を調べる手法を得るためにも重要であると思われる。前年度の研究では可換代数構造とヘキサコードの関係があることを得たが、本年度の研究で、ヘキサコードと3S_7の部分群の間に密接な関係があることがわかった。具体的には3S_7のある性質を満たす位数2の元18個の集合をとり、その中からS_5を生成する元を取る取り方がヘキサコードの重み4のを用いて記述できることが分かった。また、この可換代数の中にあるヘキサコードの重み6の元と対応するべき等元など3S_7の部分群で1次元を固定するものから得られるべき等元をすべて分類した。
2.散在型単純群Ruの作用する長さ4060の自己双対符号についてその生成元をRuの部分群であるU_3(5):2が作用するホフマン・シングルトングラフを用いて記述できることわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3S_7の作用する可換代数は古くから研究されているが自己同型群の決定が難しいとされている。まだ自己同型群の決定までは至っていないが、ヘキサコードを通して、群構造と代数構造の関係が見えてきている。これを手掛かりに自己同型群を決定していくことが出来れば、M_{12}やJ_2など他の群が作用する可換代数についても自己同型を決定するうえで必要な手段が得られると考えている。また、別の方法としてべき等元を特徴付けることで代数の自己同型群を決定できると思われる。一部ではあるが、べき等元の分類が進んだことによりこれを特徴付け出来ればよいと思われる。3S_7にかぎらず別の群の作用する可換代数においても部分群と対応するべき等元が得られることになるので、今回得られた手法は他の場合にも適用可能な方法であり、可換代数の自己同型群を決定するうえで重要な手段であると思われる。
前年度の方法と合わせて可換代数の積構造の決定法、いくつかのべき等元の分類法が得られた。これをもとに研究が進展すると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
単純群が作用する可換代数の自己同型を決定する。積構造の決定方法や、いくつかのべき等元の決定方法がこれまでの研究で分かってきた。可換代数の自己同型群が有限群になる場合、その自己同型群を決定するためには可換代数構造の中に自己同型群が作用するような有限な構造があるはずである。それを見出す必要があると思われる。可換代数のべき等元がその候補である。べき等元をうまく特徴付けることが出来れば自己同型群が決定できると考えられるので、べき等元の特徴づけを行なっていく。自己同型群が有限群になる可換代数と無限群になる可換代数がある。その違いが可換代数の持つ性質にあるかもしれない。有限群になるためには可換代数に自然な条件があるのではないかと思われる。その条件を見出すことも視野に入れて研究を行っていく。このような方針の下で、まずは3S_7の作用する可換代数の自己同型群を決定する。3S_7の作用する可換代数を足掛かりにM_{12}, J_2など他の単純群が作用する可換代数の自己同型群の決定を行う。
本研究では群構造と組合せ構造との関係を詳しく調べることで群の性質を見出すことが重要な課題であると考えている。様々な群を考えると、可換代数構造以外にも有限群が作用する組合せ構造、格子など群の構造を反映する構造がある。群とこれらの構造との関係、特徴づけなども行う。
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| Causes of Carryover |
予定していたいくつかの研究集会への参加および研究者招聘を行わなかった。また関係書籍が予定していたより少なかったため次年度に持ち越す。おもに研究を遂行するため必要な研究打ち合わせ、研究討論を行うための旅費、必要書籍の購入として次年度に使用する。
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