2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05067
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60381141)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 不変式論 / Cayley-Hamilton定理 / Pfaffian |
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| Outline of Annual Research Achievements |
阿賀岡芳夫によって与えられた高階のCayley-Hamilton定理について研究を進めた。このCayley-Hamilton型定理は不変式論で重要な役割を果たすが、この役割が浮き彫りになるような代数構造を与えた。
高階のCayley-Hamilton定理は、様々な不変式環において生成元の関係式を記述する際に役立つ。これは多項式環における不変式論の話であるが、多項式環ではなく「高階の行列環」における不変式論を考えれば、より直接的に、このCayley-Hamilton型定理自体が生成元の関係式の記述そのもの（すなわち不変式論の第二基本定理）と見なせる。この見方が自然でわかりやすい。
この理解をするために新しい代数の概念を導入した。すなわち「wreath代数」と「トレースつきwreath代数」という概念である。これらの代数は、言わば無限対称群とのwreath積を抽象化したもので、自然に準同型写像や部分代数、イデアル、T-イデアルなどの概念も定義できる。この枠組みの下で、高階のCayley-Hamilton定理の位置付けがわかりやすく整理できた。つまり「最も高階のCayley-Hamilton定理の生成するT-イデアル」という形で、「高階の行列環」における不変式環の生成元の関係式が捉えられるのである。
さらにこの高階のCayley-Hamilton定理のPfaffian版を与えた。これもまたいくつかの不変式環の生成元の記述に役立つ。そしてこのPfaffian版の高階のCayley-Hamilton定理について、定理の位置付けを理解するための基盤作りを進めた。具体的には、wreath代数の加群版である。現在は、このような概念の導入によって、このPfaffian版の定理自体をある加群における不変式論の第二基本定理と見なすことについて考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
位置付けがわかりにくかった高階のCayley-Hamilton定理について、wreath代数やトレースつきwreath代数という概念の導入で綺麗に整理できた。同様の方針で、Pfaffian版の高階のCayley-Hamilton定理についてもうまく整理できそうである。このように研究はおおむね順調に進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、Pfaffian版の高階のCayley-Hamilton定理について、wreath加群という概念の枠組みで整理したい。
同じようなタイプの不変式論を調べていると、行列式やPfaffianが融合したものが登場する高階のCayley-Hamilton型定理が必要になる場面がある。これについてはまだほとんど整理がついていないが、この定理そのものの研究を進めるとともに、この定理の位置付けについてwreath代数やwreath加群と同じような形でまとめたい。
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