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2019 Fiscal Year Research-status Report

微分概念の拡張と非可換不変式論・母函数論

Research Project

Project/Area Number 16K05067
Research InstitutionKagoshima University

Principal Investigator

伊藤 稔  鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (60381141)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 松本 詔  鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
Project Period (FY) 2016-04-01 – 2021-03-31
KeywordsCayley-Hamilton定理 / Pfaffian / 行列式 / 不変式論 / Schur多項式 / 1の原始冪根 / マトロイド
Outline of Annual Research Achievements

高階のCayley-Hamilton型定理が生成元の関係式を記述する不変式論について、とくにPfaffian版のCayley-Hamilton定理の高階版が関わるものについて整理した。同じようなタイプの不変式論で、行列式とPfaffianの融合が登場する高階のCayley-Hamilton型定理が登場するものもあり、この不変式論についても考察した。
また昨年度に日高昌樹氏と共同で得たSchur多項式の特殊値に関する結果について、証明の核心部分とマトロイドの一般論との関係が明瞭になった。グラフ的マトロイドや補グラフ的マトロイドは正則マトロイドであり、正則マトロイドがユニモジュラー系で実現できることはよく知られている。我々の証明は、あるベクトルの集合がユニモジュラー系であることが鍵であった。このベクトルの集合がマトロイドとしてあるユニモジュラー系と同型であることは上述の一般論からわかるが、このベクトルの集合そのものがユニモジュラー系であるというより強い主張が証明の核心だったことになる。このような一般論との位置関係を整理した上で、この結果について学術論文としてまとめているところである。
また下吉仁平氏と共同で、行列式の冪の展開係数についての研究を行った。指数が素数pを用いてp-1と表されるときに行列式の冪の展開係数に0が含まれないことはD. G. Glynnによって示されていたが、行列のサイズが3以上の場合には、この逆も成立することがわかった。証明は初等的だが、予想外の結果で興味深い。これも学術論文としてまとめた。
このような不変式の特殊化について、予想外の興味深い結果が得られたのが大きな成果である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

日高氏と共同研究で得たSchur多項式の特殊値に関する結果についてマトロイドの一般論との関係の理解が進んだ。また下吉氏との共同研究で、行列式の冪の展開係数について新たな結果を得た。このような不変式の特殊化について想定外の進展があった。

Strategy for Future Research Activity

行列式とPfaffianの融合が登場する高階のCayley-Hamilton型定理が記述する不変式論について、研究を進めたい。Schur多項式の特殊値に関する研究や行列式の冪の展開係数に関する研究については、表現論との関係を探りたい。

Causes of Carryover

スケジュールが合わなかったり新型コロナウイルスの影響があったりして、予定していた出張を取りやめた。2020年度は海外からの招聘を予定している。

  • Research Products

    (9 results)

All 2020 2019

All Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Open Access: 3 results,  Peer Reviewed: 2 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results)

  • [Journal Article] Linear versus spin: representation theory of the symmetric groups2020

    • Author(s)
      Sho Matsumoto, Piotr Sniady
    • Journal Title

      Algebraic Combinatorics

      Volume: 3 Pages: 249~280

    • DOI

      10.5802/alco.92

    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Random strict partitions and random shifted tableaux2020

    • Author(s)
      Sho Matsumoto, Piotr Sniady
    • Journal Title

      Selecta Mathematica

      Volume: 26 Pages: -

    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] The Schur polynomials in all nth primitive roots of unity2019

    • Author(s)
      日高昌樹、伊藤稔
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 2139 Pages: 72~82

    • Open Access
  • [Presentation] The Schur polynomials in all nth primitive roots of unity2019

    • Author(s)
      日高昌樹、伊藤稔
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型) 「表現論とその周辺分野の進展」
  • [Presentation] 1の原始n乗根におけるSchur多項式の値2019

    • Author(s)
      日高昌樹、伊藤稔
    • Organizer
      日本数学会2019年度秋季総合分科会
  • [Presentation] Kerov多項式とStanley指標公式2019

    • Author(s)
      松本詔
    • Organizer
      可換確率論と非可換確率論の相互作用準備会
  • [Presentation] Kerov polynomials and Stanley formulas for spin symmetric groups2019

    • Author(s)
      Sho Matsumoto
    • Organizer
      Interactions between commutative and non-commutative probability
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 対称群のStanley指標公式とmapの数え上げ2019

    • Author(s)
      松本詔
    • Organizer
      Study Meeting on Graph and Curvature
  • [Presentation] 対称群のスピン表現に対するStanley指標公式2019

    • Author(s)
      松本詔
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「表現論とその組合せ的側面」
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2021-01-27  

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