2017 Fiscal Year Research-status Report
平面分割・タイリングの数え上げと対称関数・パフィアン・行列式の研究
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16K05068
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 交代符号行列 / 平面分割 / 行列式 / パフィアン / 半順序集合 / MacNeille completion / 対称多項式 / 直交多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017 年 3 月末に Domaine Saint-Jacques で開かれた Seminaire Lotharingien de Combinatoire に参加した。この回は Thibon Festa であり、Bergeron, Bousquet-Melou, Krattenthaler, Leclerc 等が講演し興味深かった。５月にはフランス・リヨン大学の Frederic Jouhet が岡山大学を訪問し、共同研究を行った。Tailed Insets の (q,t)-hook formula について、議論を行い、具体的な形を求めた。これは重みをマクドナルド多項式のピエリ係数で表し、予想式をマクドナルド多項式で表すというものである。Warnaar の等式についての議論も行った。また、６月には Stanley が岡山大学を訪問し、Smith normal form とそれに付随した組合せ論・表現論の問題について講演を行った。６月には Queen Mary University of London で開催された第２９回形式的冪級数と代数的組合せ論に関する国際研究集会に参加し、海外の多くの研究者と情報交換をした。また、アステカ長方形のタイリングとシューアの Q-函数の関係について考察し、それに関する情報を得た。９月にはフランスのリヨン大学を訪問し、Jouhet 氏との討論の続きを行いたいへん有意義だった。また Jiang Zeng 氏とパフィアンと直交多項式の共同研究の続きを行った。イタリアのベルティノーロで開かれた Seminaire Lotharingien de Combinatoire にも参加した。１０月には京都大学数理解析研究所で開催された研究集会「表現論と組合せ論」に参加した他に Strasbourg 大学の Gnu Han 氏を岡山大学に招いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
アステカ長方形のタイリングに重みの付け方を変えてシューアの Q-函数の作り方について考察した。これは有名なアステカダイアモンドのタイリングの一般化であり、Q-函数という広い対象を含んでいるので、なかなか定式化が難しい。特に、dashed tableaux の間の全単射が記述が難しく研究途上である。一方で、Jouhet 氏と共同研究している (q,t)-hook formula の証明であるが、irreducible d-complete posets についてのケースバイケースの証明に努力している。特に、Jouhet 氏とは Tailed Insets の場合について具体的に重みを計算し、マクドナルド多項式のピエリ係数の積で割とシンプルな形に書けるところまでは確認した。この重みの和を簡単化してマクドナルド多項式の等式に帰着しようと努力しているが、和で書けた後の簡単化が難しい。その他にもタイリングの問題に関して、いろいろな対称性を考慮した数え上げに取り組んだ。主な手法はタイリングと lattice path との全単射をを利用して、タイリングを Schroder path の非交差経路の組に置き換え、その行列式を考察するものである。この場合は￥に行列式の成分である Schroder path の個数は一般的に超幾何級数で書けるが、その行列式の評価は決して簡単ではない。成分の間の漸化式を作り、超幾何級数の隣接関係式を使って小目ウすることが課題である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今回の科研費とは違う予算ではあるが 2018 年 2 月に岡山で Algebraic and Enumerative Combinatorics in Okayama という研究集会を開催し、Roger Behrend, Mihai Ciucu, Greta Panova, Jang Soo Kim 等を招聘した。研究集会のテーマは主に２つあって、一つは交代符号行列・平面分割であり、もう一つは鉤公式であった。交代符号行列と対称性を持つ平面分割の数え上げ問題は古くからの問題ではあるが、交代符号行列の新しい対称性による数え上げの結果に関する講演もあった。交代符号行列の母関数に関しては不思議な一致があり、例えば１８０度回転で不変な偶数次の交代符号行列の母関数には、その半分の次元の交代符号行列の母関数が現れる。また、交代符号行列と第j列がn-j以下であるcolumn-strictな平面分割とは個数が同じであるが交代符号行列で-1の個数に対応する平面分割の重みは見つかっていない。また、左右対称な交代符号行列と行の長さが偶数のドミノ平面分割は同じ個数であり、１８０度回転不変な交代符号行列と列の長さが偶数のドミノ平面分割も同じ個数であることが証明できる。一方で行と行の長さが偶数のドミノ平面分割は、defect を１つもつ fully packed loops (これは左右対称な交代符号行列を考察する際に使う Six Vertex Model の境界条件を変えたものに言い換えられる) と同じ個数を持つと思われるが、これは証明できない。このように、いろいろな不変量や数え上げ母関数については、まだ、考察されていないものがあり、明らかにしたい。
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| Causes of Carryover |
海外での研究集会に行く為の予定が合わなかったために少し繰越金が生じた。一方で Gnu Han 氏等の予定外の来客もあり、繰越金は余り多くなかった。 Gnu Han 氏は岡山大学に来訪して頂き、Hook formula についていろいろな研究打合せができて大変有意義だった、
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