2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05069
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
古澤 昌秋 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50294525)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 保型L函数 / L函数の特殊値 / テータ対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
SO(2n+1)xSO(2)のspecial Bessel periodについての精密化されたグロス・プラサド(Gross-Prasad)予想についての森本和暉(神戸大学)との共同研究に関しては、Journal of the European Mathematical Society (JEMS)に投稿した論文が数回のレフェリーとのやり取りを通じた修整を経て、無事受理され、近日中に刊行予定である。この論文は早くもドイツの数学者Valentin Blomerの論文 (JEMS 2019, Online First)において、"a breakthrough paper of Furusawa and Morimoto"として引用されている。上記の我々の論文においては、主定理の系として、1980年代半ばから未解決であった次数2のジーゲル尖点形式のフーリエ係数とスピノルL函数の函数等式の中心における特殊値の関係についてのベッヘラー(Boecherer)予想が解決されている。Blomerの論文はベッヘラー予想の解析数論的な応用に関するものである。
保型表現論の研究者からは、精密化されたグロス・プラサド予想の特殊ではあるが興味深い場合のテータ対応を用いた明快な解決として、古典的ジーゲル保型形式論の研究者からは、長い間未解決であったベッヘラー予想の解決として、上記論文は広い範囲の保型表現・保型形式の研究者たちからの反響を呼んでいる。
森本との共同研究として、ベッヘラー予想をトーラス部分の指標が非自明な場合、ベクトル値、そして重さ2の場合へ拡張する考察を引き続き行い、我々のアイデアについての確信を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ベッヘラー予想のトーラス部分の指標が非自明な場合、ベクトル値、そして重さ2の場合への拡張に関して、基本アイデアについては確信を持っている。しかし、計算の進行に必要な基本事項に関して、我々の場合に必要な諸公式が実用に適した形に書かれたものが乏しく、古い文献を探したり、諸公式を使える形に書き直したり、チェックするのに望外の時間がかかったために、残念ながら、期待していたような進捗状況を達成できなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、ベッヘラー予想のトーラス部分の指標が非自明な場合、ベクトル値、そして重さ2の場合への拡張に関する、森本和輝（神戸大学）との共同研究を推進する。ベクトル値、重さ2の場合への拡張には本質的な大変さは無いと予想しているので、指標が非自明な場合への拡張を最優先課題として、今後の研究を推進したい。
楕円モジュラー形式の数論的理論においてWaldspurger公式が果たしたのと同様な役割を、ベッヘラー予想の解決は次数2のジーゲル保型形式及びアーベル曲面の数論的研究において果たすことが期待される。我々の結果の解析数論的な応用、岩澤理論的な応用については、既にいくつかの論文が発表されている。応用に適した形に我々の公式をリファインすることについても、引き続き考えていきたい。
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| Causes of Carryover |
Boecherer予想のトーラス部分の表現が非自明な場合への一般化について、鋭意考察中であるが、それに想定以上の時間がかかっている。自明な場合には、よく知られているdual pairによる引き戻しを考察すればよかったが、非自明な場合については、それとはまったく異なる新しい考察をせねばならず、その基礎的部分の検証に思ったよりも手間がかかり、当初の目論見よりも時間がかかっている。これについては、国内外の研究集会等に積極的に参加し、当該事項の専門家と研究情報を交換することによって、研究の遂行を促進したい。
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