2020 Fiscal Year Research-status Report
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16K05070
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
西山 享 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70183085)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 多重旗多様体 / exotic 冪零多様体 / モーメント写像 / 退化主系列表現 / 余法束多様体 / Steinberg理論 / RSK対応 / グラスマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) 対称対 (G,K) = (GL(n,C), GL(p,C)×GL(q,C)) に対する A 型の二重旗多様体を考え，二重旗多様体上の K 軌道の分類・次元の決定・閉包関係の決定と記述を Lucas Fresse 准教授（IECL, Lorraine 大学)と行った．軌道の分類も閉包関係もある種のグラフを用いて組合せ論的に行うことができる．これは前年の p=q=n の時の結果の一般化であり，部分置換を用いた記述の大幅な一般化になっている．Steinberg 理論自身もかなりの進展が見られた．二重旗多様体のモーメント写像とそれに付隨する余法束多様体の構造，およびその既約成分である軌道の余法束の像（冪零軌道になる）の決定を行い，Steinberg 写像のファイバーを記述する組合せ論的な枠組み（RSK対応の一般化）の記述など，A型についてはほぼ網羅的な内容を得た．特に RSK 対応の一般化は組合せ論的にもかなり深い内容を持っていると考えている．
さらにこの A 型の結果を用いて C 型の対称対についても軌道の埋め込み理論を用いて余法束多様体を研究できることが分かり，米国数学会の速報誌 Contemp Math の一巻の内に掲載されることが決定した．A型の結果はプレプリントにまとめ arXiv に発表，現在専門誌に投稿中である．
2) 上記研究の他に，ユニタリ最高ウェイトのコホモロジーの計算 (Pavle Pandzic 教授，Rafael Murden 氏との共同研究)，実グラスマン多様体のコホモロジー環の研究 (Pavle Pandzic 教授との共同研究)，一般化された隨伴作用の研究（太田琢也教授との共同研究）などが予定されていたが，コロナ感染症のパンデミックの中，予定されていたセミナー，招聘事業の中止を余儀なくされ，研究期間の継続申請が認められた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Lucas Fresse 准教授との共同研究である，Steinberg 理論の一般化とRSK対応については，軌道の埋め込み理論を用いた研究が米国数学会の速報誌に受理され，出版待ちの状況である．また，A型の一般理論についてはプレプリントを完成させ，現在投稿中である．セミナーは zoom を用いて行っており，研究も進展中である．Pandzic 教授との共同研究もほぼまとまりかけているものの，コロナウィルスの感染拡大によってセミナーや国際交流に多大な支障をきたした．これは不可抗力というものの心配している．
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| Strategy for Future Research Activity |
exotic な Steinberg 理論に関する Lucas Fresse 准教授との zoom を用いた共同研究をさらに推し進め，幾何学的なヘッケ加群の理論にまで研究の範囲を広げたい．現在は軌道の閉包関係や，次元の公式などが得られている段階だが，ヘッケ環の作用も具体的に書き下せるという感触を得ている．一方，Pandzic 教授および Rafael Murden 氏とのユニタリ最高ウェイト表現のコホモロジーに関する結果もほとんど完成しているのだが，その最後の詰めがコロナ感染症によるパンデミックのために阻害されている状況である．事態の推移を見守りつつ，zoom 会議などの有効な手段を模索したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルスの感染拡大・パンデミックによるセミナーの中止，招聘事業の延期などを余儀なくされたため．本年度もコロナウィルスの感染については十分な注意を払わねばならないので使用計画については現状を的確に把握して決定する．実際に招聘などが行えない場合にはオンラインの会議用のパソコンや，デジタル形式のノート用機器，ソフトウェアの購入などを検討する．
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