2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05071
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
谷口 健二 青山学院大学, 理工学部, 教授 (20306492)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 標準 Whittaker (g,K)-加群 / 主系列表現の組成列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，実簡約型 Lie 群の標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を解析することを主目的としている．
平成28年度には，まず群が Sp(2,R) の場合について，標準 Whittaker (g,K)-加群の組成列を調べた．そのとき用いた主な手法は，SL(3,R) の場合と同様に，まず標準 Whittaker (g,K)-加群を特徴付ける微分方程式系を書き下し，これが確定特異性を持つような超曲面における部分的境界値を考えることで実階数1の状況を作り，実階数が1のときの Whittaker 関数の性質によって緩増加な解を絞り込む，というものである．その上で，従来から用いている，K-タイプを shift 作用素によって動かしたときの挙動を解析したり，具体的な Whittaker 関数の性質を参照するなどして既約因子を決めていった．このような研究を行った結果，Sp(2,R) の標準 Whittaker (g,K)-加群の組成列を完全に決定することができた．
上記 Sp(2,R) に関する研究を終えた後には，代数的な観点から研究を行った．Whittaker 模型に関するある定理を言い直せば，標準 Whittaker (g,K)-加群は入射加群の構造を持つことがわかる．これは北海道大学の阿部紀行氏の指摘である．これにより，標準 Whittaker (g,K)-加群を直既約部分加群に分解することで，様々な性質が見て取れた．例えば群が split で無限小指標が regular なときには，標準 Whittaker (g,K)-加群を Weyl chamber の中で translation したものは，標準 Whittaker (g,K)-加群に同型であることがわかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では，平成28年度には，Sp(2,R) のほかに，split とは限らない実階数2のいくつかの群について標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を決定することとなっていた．split ではない群についての研究は進んでいないが，上記「研究実績の概要」にあるように，代数的な考察によって，例えば translation 関手による標準 Whittaker (g,K)-加群の振る舞いなどがわかった．この考察を使うことにより，標準 Whittaker (g,K)-加群の他の構造解析も大いに進展すると感じている．
以上のように，これまでとは違った観点から研究を進める手がかりも得られたことを考慮に入れて総合的に判断すると，本研究は概ね順調に進展していると結論づけられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度に行った代数的な考察は，標準 Whittaker (g,K)-加群が入射加群の構造を持つことに基盤を置いており，このような構造を使えば，例えば群が split な場合には，直既約部分加群の既約商加群を特定することにより，本研究の一つの目標であった自己双対性予想が解決できると考えている．
そこで今後は，当初計画していた解析的手法，あるいは実簡約型 Lie 群の表現論で使われてきた手法のみならず，もっと代数的な手法も取り入れることを考えている．これにより，本研究は大いに進展すると考えている．
このことを踏まえ，平成29年度以降には，代数的な考察にも重点を置き，例えば代数群の表現論の研究で用いられている手法を応用できないか模索することも研究計画に加えたい．
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