2019 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on the structure of standard Whittaker modules
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16K05071
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
谷口 健二 青山学院大学, 理工学部, 教授 (20306492)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Whittaker加群 / 主系列表現の組成列 / 確定特異点型偏微分方程式系の境界値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，実簡約型 Lie 群 G の標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を解析することを主目的としている．
2019年度は前年に引き続き，群 G が split 群の場合の自己双対性予想について，特に確定特異点型偏微分方程式系の境界値問題を使うことで解決を試みたが大きな進展はなかった．一方，前年度の研究で，この加群には大きな既約商表現が存在することがわかっているため，既約商表現の一意性が証明できれば自己双対性予想は解決することがわかっていたが，こちらの方向でも決定的な成果は得られなかった．
以下で研究期間全体を通じて実施した研究の成果について纏める．まず研究の初期では標準 Whittaker (g,K)-加群の socle filtration の具体例の構成を行い，G=Sp(2,R) のそれを完全に決定した．その次には標準 Whittaker (g,K)-加群の代数的な性質に注目した研究を行った．Whittaker 模型に関するある定理を言い直せば，この加群はある圏における入射加群であることがわかる．これにより，split 群の標準 Whittaker (g,K)-加群をある Weyl chamber の中で translation したものは標準 Whittaker (g,K)-加群になること，およびこの加群の大域指標は主系列表現のそれの和であることを示すことができた．これにより組成因子問題は G が split 群の場合には完全に解決できた．次に G が split 群の場合について，本研究の一つのテーマであった自己双対性予想に取り組んだ．確定特異点型偏微分方程式系の境界値問題などを使うことで，この加群の既約商表現がただ一つであればこの予想が証明されるところまでは研究を進められたが，その証明には至らなかった．
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