2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05079
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
藤田 育嗣 日本大学, 生産工学部, 教授 (50514163)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ディオファンタスのm組 / 楕円曲線のMordell-Weil群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
目的２の「Mordellの楕円曲線 E_k:y＾2=x＾3+k (k は整数)に対応する3次Thue方程式の解を(rank E_k (Q)=2 等の仮定の下に) 決定する」について，Fermat の3次式の3次twist x＾3+y＾3=m (mは3乗因子をもたない整数) の整数点についての結果を一般化することを試みたが，想定していたよりも状況が複雑で，思うような成果を得ることが難しいことが分かった．そこで，代わりに4次曲線 u＾2-v＾4=m および u＾2+v＾4=m (mは4乗因子をもたない整数) の整数点を考え，奈良忠央氏とともに論文にまとめることができた（投稿中）．
目的３の「ディオファンタスの3組の正則でない4組への拡張の有限性」について，任意に固定したディオファンタスの3組の正則でない4組への拡張の個数は高々10個であることを証明し，まとめた論文（宮崎隆史氏との共著）は Transactions of the American
Mathematical Society から出版された．さらにこの個数の上限を改善した結果をまとめた論文（Mihai Cipu氏，宮崎隆史氏との共著）が International Journal of Number Theory より出版された．
また，目的３に関連して，フィボナッチ数からなるディオファンタスの4組は存在しないことを Florian Luca氏と共に示した論文が Acta Arithmetica から出版された．さらに，2つのディオファンタスの3組または4組について，共通の元を2つまたは3つもつ場合に考察した．すでにある予想に関連する新たな予想を提示し，その正しさを示唆する結果を示すことができた．まとめた論文は投稿中である（Mihai Cipu氏，Andrej Dujella氏との共著）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成30年度に予定していた研究内容について，少し内容の変更は行ったものの，論文としてまとめることができ，また，目的３と関連するが当初は予定していなかった Mihai Cipu氏およびAndrej Dujella氏との共同研究が成功して論文にまとめることができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
目的３については，b が a^2 に近い場合のディオファンタスの2組 {a,b} の4組への拡張可能性について，Mihai Cipu氏，Alan Filipin氏と共同研究中である．また，今まで調べるのが難しかったある種のパラメーター表示されたディオファンタスの2組の拡張可能性について，研究を進める糸口が見つかったので，Bo He氏，Alain Togbe氏，宮崎隆史氏と共同研究する予定である．
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| Causes of Carryover |
アメリカの Purdue大学で開催された研究集会に参加するための航空券やホテル代が思ったより安価だったため．今年度は，クロアチアへの渡航代と新しいハイスペックPCの購入等で次年度使用額も含め，適切に使用する予定である．
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