Iwasawa theoretic approach to the absolute Galois groups of number fields

2019 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16K05080
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 尾崎 学 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80287961)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 岩澤理論 / ガロワ群 / 代数的整数論

Outline of Annual Research Achievements

今年度得られた研究成果は，有限体上の一変数代数函数体と代数体の類似を表す以下の定理である：
定理　kを有理数体Qの総虚な有限次Galois拡大で，Qの円分的Z^-拡大Q~（Z^はZの副有限完備化）との共通部分がQであるものとする．そしてk~:=kQ~として，L/k~を最大不分岐Abel拡大とする．このとき，X(k)=Gal(L/k~)のGal(k~/k)-加群としての構造がkを完全に特徴付ける．すなわち，k_1,k_2が有理数体の総虚な有限次Galois拡大であり，X(k_1)とX(k_2)がGal(Q~/Q)-加群として同型であればk_1=k_2が成立する．ここでGal(k~_1/k_1)およびGal(k~_2/k_2)は自然にGal(Q~/Q)と同一視しておく．
円分的Z^-拡大の有限体上の1変数代数函数体Fにおける類似は係数体の代数閉包までの係数拡大F~，X(k)の類似物はFの標数と異なる素数lに関するl-Tate加群T_l(F)であり，この定理はTateの定理「T_l(F)のGal(F~/F)-加群構造がFに付随するJacobi多様体J(F)の同種類を決定する」の類似と見なせる．
一変数代数函数体においてはF~の最大不分岐Abel拡大の素数l-部分T_l(F)の情報のみでJ(F)の同種類が復元されるが，代数体においてはそれでは不十分で，すべての素数部分の情報が復元に必要である．その理由の本質的究明が代数的整数論の深い理解に繋がると考えられる．