2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05081
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
広中 由美子 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10153652)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | p進等質空間 / 球関数 / quaternion hermitian / 局所密度 / Macdonald多項式 / ヘッケ環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
$p$進体上の division quaternion 上のhermitian forms の空間の研究を主に進めた．この空間については，以前にも多少考察していたが，等質空間の上の球関数論などはそれなりにできている状況で，再び取り組んだ．作用している群はdivision quaternion 上の一般線形群なので，これ自体の球関数は，佐武一郎の結果までさかのぼれて，最も標準的なマクドナルド多項式(むしろ Hall-Littlewood多項式と言うべき)によって記述される．
このquaterion hermitian forms の空間でも，対称行列などと同様に，球関数を局所密度の生成関数としてとらえられる．以前の球関数の表示式を求める方法が今回使えて明示式を得ることができた．この結果，球関数の主要部として，新たな形のマクドナルド多項式が現れた．それと普通のHall-Littlewood 多項式との関係はまだよくわかっていない．また，この空間の研究は，ramified hermitian forms の空間の研究にも役立ちそうで興味深い．
これまで得られた結果は，日本数学会の秋季総合分科会，保形形式関係の年次研究集会である数理解析研究所での研究集会で発表する他，第10回数論女性の集まり，早稲田大学でのPVセミナー，ネパールでの国際シンポジウムで発表し，コメントや批評も得られた．また．白馬数論オータムワークショップでは国内外の研究協力者と直接議論ができ有意義であった．これらの出張費の多くを科研費で賄った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
division quaternion 上の hermitian forms の空間の球関数について研究が進んだ．
この空間のカルタン分解は，不分岐エルミート形式と分岐エルミート形式と双方に類似したタイプであり，低次元の球関数も同様である．サイズ 3 以上の場合に，この空間を一般サイズで考察することで，従来よく分からなかった一般次元の分岐エルミート形式の球関数についても役立ちそうである．
球関数の主要部として現れた対称多項式系をさらに一般化した系列についての研究にも発展しそうである．
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| Strategy for Future Research Activity |
division quaternion 上のhermitian forms の空間の調和解析的考察として，球フーリエ変換の像や，これに付随するPlancherel 測度について研究する．サイズ $3$ 以上の場合に球フーリエ変換像が全体からどれほど小さいか興味深い．サイズ $2$ のときと状況は大きく異なる．剰余体標数が偶数(dyadic)の場合に，同じような議論は成立しない部分が多いが，どこまでできるかはやはり興味がある．
以前，unitary hermitian forms の空間を考察した．これ以外にも類似の空間について，視野を広げて研究を進めていきたい．
引き続き，立教大学の小森靖氏を連携研究者として迎えて，特にMacdonald 多項式関係の部分の研究を進める予定である．概均質ベクトル空間の理論も，等質空間上の球関数には密接につながりがある．元立教大学の佐藤文広氏に協力して早稲田大学において定期的にセミナーを開催している．ここで，概均質ベクトル空間関係の研究者との研究連絡を図っている．また，研究集会「数論女性の集まり」も引き続き世話人として関わり，自分自身の研究発表をして批評を仰ぐとともに，関連する研究者の講演や討論を踏まえて，この研究を進めていく予定である．
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