2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05081
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
広中 由美子 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10153652)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | p進等質空間 / 球関数 / ヘッケ環 / quaternion hermitian / 局所密度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
引き続き，$p$進体上の division quaternion 上のエルミート形式の空間 $X$ の研究を主に進めた．この空間に作用している群はdivision quaternion 上の一般線形群なので，これ自体の球関数は，佐武一郎の結果までさかのぼれて，最も標準的なマクドナルド多項式(むしろ Hall-Littlewood多項式と言うべき)によって記述されている．この quaternion エルミート形式の空間でも，体上のエルミート形式や対称形式などと同様に，球関数を局所密度の生成関数としてとらえられる．
球関数の明示式の主要項には，エルミート形式のタイプによって，異なる形の新たなマクドナルド多項式が現れるが，正規化は共通にできる．それによる球フーリエ変換で，$X$上の急減少関数の空間は，対称ローラン多項式環の中に移される．サイズ１，２のときは全射となるが，一般には真のイデアルとなると予想される．サイズ３，４のときには，実際に球フーリエ変換像の2個からなる生成元を与えた．引き戻して，$X$上の急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元が得られた．
また，このようなquaternionエルミート形式の空間の研究に示唆されて， 以前扱っていた$p$進体上の分岐エルミート形式の研究を見直しが進んだ．こちらは，同じ固有関数に対応する球関数の次元が上がるので，指標を導入する必要があるが，その指標の種類によっては，quaternionエルミート形式の場合によく似た明示式が与えられ，球関数の主要部として，新たな形のマクドナルド多項式が現れる．
この空間の研究は，対称形式の空間の研究に役立つと思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
division quaternion 上の エルミート形式の空間の球関数について研究が進み，球フーリエ変換像についての計算機を用いての考察により，サイズ３，４のときの球フーリエ変換像の決定や，引き戻しての球減少関数の空間の生成系がとらえられた．この研究には，Mathematica や Grebner基底を用いる Macaulay2 などの計算ソフトが役立った．
また，体上の分岐エルミート形式の研究の見直しが可能となり，この空間の球関数の表示式の考察が進んだ．
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| Strategy for Future Research Activity |
division quaternion 上のエルミート形式の空間の調和解析的考察として，急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元，球フーリエ変換の像，Plancherel 測度について研究する．球フーリエ変換像について，サイズ４以下では分かったが，一般サイズの場合に決定することは今後の問題である．剰余体標数が偶数(dyadic)の場合に，同じような議論は成立しない部分が多いが，どこまでできるかはやはり興味がある．
$p$進体上の分岐エルミート形式の空間についても，研究を進めたい．これ以外にも類似の空間について，視野を広げて研究を進めていきたい．
引き続き，立教大学の小森靖氏を連携研究者として迎えて，特にMacdonald 多項式関係の部分の研究を進める予定である．
概均質ベクトル空間の理論も，等質空間上の球関数には密接につながりがある．元立教大学の佐藤文広氏に協力して早稲田大学において定期的にセミナーを開催している．ここで，概均質ベクトル空間関係の研究者との研究連絡を図っている．また，研究集会「数論女性の集まり」も引き続き世話人として関わり，自分自身の研究発表をして批評を仰ぐとともに，関連する研究者の講演や討論を踏まえて，この研究を進めていく予定である．
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Research Products
(4 results)
