2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05083
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
前野 俊昭 名城大学, 理工学部, 准教授 (60291423)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数学 / 代数的組合せ論 / 半順序集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成28年度においては、研究実施計画に従い、主に (1)マトロイドに付随して定まる可換ゴレンシュタイン代数のレフシェッツ性 (2)旗多様体の量子K環とアフィン・グラスマン多様体のK環に対するPeterson同型の具体的構成 の二つのテーマに関して研究を進めた。
(1)については、幾何的モジュラー束に付随するゴレンシュタイン環のレフシェッツ性に関する結果が当該年度中に出版された。さらに、一般のマトロイドに関しても対応するゴレンシュタイン環はレフシェッツ性を持つであろうことが予想されている。この予想の解決に向け、その他のクラスのマトロイドから定まるゴレンシュタイン環の構造について解析を進めた。それにより、幾つかのクラスのマトロイドに対して予想の成立が確認された。
(2)については、（コ）ホモロジー的な場合には戸田系のタウ関数を利用することにより量子シューベルト多項式とk-シューア多項式との対応関係がLam-Shimozonoにより具体的に構成されている。このK理論的類似として、相対論的戸田系のタウ関数を用いた量子グロタンディク多項式とK-k-シューア多項式の対応について研究を進め、グラスマン置換の場合に大きな進展を得た。
(1), (2)以外のテーマに関しても、情報セキュリティ数理に関連して p進表示された諸オークション関数に対してその具体的な多項式表示を与えることを試み、幾つかのまとまった結果を得ることができた。これらの結果は秘匿計算等での応用が見込まれるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に記載の通り、平成28年度の研究においては、(1)マトロイドに付随して定まる可換ゴレンシュタイン代数のレフシェッツ性 (2)旗多様体の量子K環とアフィン・グラスマン多様体のK環に対するPeterson同型の具体的構成 の二つのテーマを中心に研究が進められた。
このうち前者に対しては、一般のマトロイドに対して対応するゴレンシュタイン環がレフシェッツ性を持つであろうという予想は依然として解決が困難なものに思われる。その一方で、既に得られた結果として幾何的モジュラー束から定まる場合のゴレンシュタイン環の構造がより深く理解されつつあり、その他のクラスに対しても検証が進められている。
(2)のテーマに関しては、これまで具体例の計算が幾つか得られていたものの、依然として予想の部分も多く、困難が残されていたが、相対論的戸田系のタウ関数を経由したK理論的Peterson同型の構成について理解が進み、グラスマン置換に対しては量子グロタンディク多項式とK-k-シューア多項式の対応が明示的に示された。この結果は、この方向性の研究において大きな進展と言える。
こうした結果は、本研究課題の実施計画に鑑みて、概ね想定された進捗、あるいはそれを上回る進捗状況であり、引き続きこれらの結果を基に研究実施計画を進めていく。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の課題としては、まず引き続きマトロイドに付随して定まる可換ゴレンシュタイン代数のレフシェッツ性に関する予想の解決のため、対応するゴレンシュタイン代数の構造の解析を進める。特に重要なマトロイドのクラスとしてはグラフィックマトロイドに対するレフシェッツ性の検証の他、幾何的モジュラー束に近い対象として量子マトロイド等も興味深い例を与えるものと期待される。またマトロイドの deletion, contractionの操作に応じて、対応するゴレンシュタイン代数がどのように振る舞うのかを研究することも基本的な課題と言える。他に関連する話題として、超平面配置から定まるSolomon-Terao代数の組合せ的性質やレフシェッツ性に関する問題も、今後研究すべき重要な課題である。
また、平成28年度中の研究においては、情報セキュリティ数理に関わる問題としてオークション関数の多項式表示に関してもまとまった結果を得ることができたが、このテーマも対称多項式論や多項式の組合せ論の観点から見て新しい興味深い問題を提供することが期待されるので、引き続きオークション関数の組合せ的性質に関しても研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
平成28年度の当初計画では、海外出張を含め何件かの出張計画を想定していたが、海外出張に関わる旅費が当初想定額よりも少ない額に抑えられたことと、国内出張件数についても想定内に収まったことが主な理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年度には海外での研究集会を含めて何件かの出張が予定されているほか、必要な図書の購入等のため、次年度使用額分についても、適正な計画に沿って使用される予定である。
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