2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05086
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
松本 圭司 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30229546)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式系 / 相対ねじれホモロジー群 / 相対ねじれコホモロジー群 / 交点形式 / モノドロミー / テータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lauricella により導入された m 変数超幾何微分方程式 F_D は、局所解空間が m+1次元であり、解の積分表示が存在する。パラメーターに関する非整数条件下では、その積分表示はねじれホモロジー群とコホモロジー群のペアリングとみなせ、ねじれホモロジー群と F_D の局所解空間は線形空間として同型になる。しかし、その条件をみたさない場合は、ねじれホモロジー群と F_D の局所解空間との同型が崩れてしまう。そこで、相対ねじれ（コ）ホモロジー群を導入し、それらがみたす基本性質を整理して、いかなるパラメーターに対しても、F_D の局所解空間と相対ねじれホモロジー群の線形同型が成立することを示した。さらに、この線形同型を利用して、あらゆるパラメーターに対して有効なモノドロミー表現を相対ねじれホモロジー群間に定まる交点形式を用いて、具体的に記述した。その系として、モノドロミー表現が自明になるためのパラメーターに関する必要十分条件を与えた。これらの結果は、http://arxiv.org/abs/1804.00366 にて公開されている。
Gauss の超幾何微分方程式の２つの局所解の比をとることで得られる（多価）写像は Schwarz 写像と呼ばれる。パラメーターがある種の整数条件をみたすと、その像は上半空間となり、逆写像が１価正則写像になる。Gauss の超幾何微分方程式を２変数超幾何微分方程式系 Appell F_2(1/2,1/4,1/4,1/2,1/2) に拡張することで、モノドロミー群が三角群 (2,∞,∞) となる Schwarz 写像の拡張を行った。その逆写像を Schwarz 写像に関する種数３の代数曲線の Prym 多様体を考察することで、テータ関数を用いて具体的に表示した。この結果に関しては、現在論文を作成中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究では、代数多様体の周期写像がみたす超幾何微分方程式が可約になる場合に詳しく調べることが１つのテーマになっている。その研究に対して、対象となる空間が複素１次元の場合の相対ねじれ（コ）ホモロジー群の理論が整理できたことは、今後の研究の礎ができたことに相当している。パラメーターに関するある種の非整数条件下で、ねじれ（コ）ホモロジー群により導き出された超幾何関数の諸性質に対して、相対ねじれ（コ）ホモロジー群への拡張で、条件を大幅に緩和することが可能となる。また、対象となる空間の高次元化に対しても、整理された理論は重要な役割を果たすものと期待している。
また、ある空間の基本群の生成系に関する研究代表者が立てた予想を連携研究者が肯定的に解決している。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 相対ねじれ（コ）ホモロジー群に関して整理された理論の超幾何微分方程式系への応用を図る。ねじれ（コ）ホモロジー群に関して成立している既存の超幾何微分方程式系の公式を拡張するという明確な方針が定まっている。
(2) 相対ねじれ（コ）ホモロジー群の定義される空間の高次元化を考察する。１次元の相対ねじれホモロジー群は、空間の図示により理解を深めることができるが、高次元においてはその手法は無効となる。相対ねじれコホモロジー群の高次元化の理論を整理し、その双対空間として理解する手法に期待している。
(3) ある空間の基本群の生成系を用いて、その空間上で定義されている微分方程式系のモノドロミー表現を連携研究者と協力して決定する。
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| Causes of Carryover |
家庭内で問題が生じたため、予定していた出張ができなくなり、次年度使用額が生じてしまった。
研究代表者が世話人を務める北海道特殊関数セミナーに、この研究に関係する研究者を招聘する。そのための旅費として有効活用を行う。
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