2018 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
16K05087
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 混合Hodge構造 / 三角圏 / Hodge複体 / Deligneコホモロジー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
複素数体上のコンパクトと限らないsmoothな代数多様体に対し，その混合Hodge構造を与える対象として，Deligneは混合Hodge複体の概念を与え，さらにBeilinsonはそれをチェインレベルで考察し，Hodge複体の概念を与えた(後者の方が詳しい情報を持った対象である）．両者の違いは，導来圏の対象を与えることと，複体を与えることとの相違に似ている. Hodge複体は, Q上のベクトル空間の複体， C上のベクトル空間の複体, およびそれらの間の擬同型からなる．Beilinsonによると，smoothな代数多様体Xに対し，Hodge複体K(X)が対応し，それはXの混合Hodge構造を計算する．この構成は抽象的な層の理論に基づいたものであり，関手性などの性質を満たしているが，実際に用いるのには都合が悪い場合がある.
本課題研究においては，より明示的なHodge複体を構成した．すなわち，smoothな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対してHodge複体E(X, H)であって，次の二つの性質を満たすものが構成できる．(a) E(X, H)の「Q-部分」は，X上の位相的なチェインのなす複体であり，(b) E(X, H)の「C-部分」は，Hに対数的極を持つX上の微分形式の複体を用いて記述される．
なお，Xがコンパクトの場合，あるいはHが空の場合は，E(X, H)の構成に困難はない．一般の場合のE(X, H)の構成には，(Cauchyの積分公式を高次元のチェインに拡張した)Cauchy-Stokes formulaが取り込まれている．この研究により，混合TateモティーフのHodge実現の構成におけるCauchy公式の意味が明確になった．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
混合Tateモティーフに対して混合Hodge構造を対応させる構成(もとはBloch-Krizによる）に，古典的なCauchy公式のある一般化が現れる．しかし何故このCauchy公式が現れるか，その理由は明らかでなかった．上述した，smoothな多様体Xと正規交差因子Hの対(X,H)に対する明示的なHodge複体の構成により，より一般的な枠組みの中で，その理由が明らかにされた．この明示的なHodge複体は，さらに一般の混合モティーフの(明示的な)混合Hodge構造の構成に必要となる．またこのHodge複体を用いてXのChow群からのregulator写像の見通しの良い記述を得ることも期待できる．
|
| Strategy for Future Research Activity |
Beilinsonによる抽象的なHodge複体と，上述の明示的なHodge複体の比較を行う． 少なくとも以下の要素がその比較に必要となる．
(a) de Rham複体と，特異コチェイン複体の比較．これにはGuggenheimの定理, およびWeilによる定理の証明のアイディアが使われる． (b) 特異コチェイン複体と，組み合わせ的チェインの複体の比較．これは基本類とのcap積で与えられる. (c)組み合わせ的チェインの複体と，カレントの複体の比較．これは「積分」によって与えられる．
|
| Causes of Carryover |
所属する大学での運営の業務のため，研究や出張の時間がごく限られたため，予定していた活動が十分にできなかった．
今年度は以下のように使用する計画である．(a)関連する研究者による研究集会を開く．(b)海外出張１回を含め，研究のための
旅行を実行する．(c) 必要な計算機の購入を行う．(d)研究に必要な図書を購入する．
|
