2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05088
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ガロア点 / 準ガロア点 / ガロア群 / 射影 / 射影代数多様体 / 正標数 / ガロワ点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロア点を用いた射影多様体の分類、ガロア点と他分野との関係の創出、という２つの目的のもと研究を行なった。射影空間内の点Ｐが超曲面Ｃに対するガロア点であるとは、点Ｐからの射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。
標数が零のとき、曲線上のガロア点の個数の上限は４と予想されている。有理曲線という限定的な場合を除いておく。このときさらに平面曲線が「はめ込みでない」ときには、上限「２」を与えた。従ってこの予想を示すには、平面曲線をはめ込み曲線と仮定してよい。さらに曲線の次数dが偶数である場合には、上限が「５」以下であることを示した。さらにいくつかの状況下、特にd-1が２でも３でも割れない場合には、予想が正しいことを示した。詳細は省くが、曲線の外のガロア点に関しても類似の結果が得られた。これまでの個数上限に関する結果として三浦敬氏の「d-1が素数」の場合があり、それを大幅に拡張したといえる。
ガロア点に関する「超平面切断定理」は特異点集合の余次元が２以上の場合に著者と高橋剛氏により得られていたが、これを「次元の仮定なし」に拡張した。それにより、以前得ていた「ガロア点が次元分存在する超曲面の分類」の証明を簡素化することができた。
代数曲線に対して「ガロア点を複数もつ(平面への)双有理埋め込みをもつ」ための必要十分条件を、関数体とその自己同型の言葉で与えた。この判定法を有理曲線と楕円曲線に適用することにより、ガロア点を複数もつ新たな例を少なくとも３例発見した。(本当は「５例」と言えると思うが、このうち３例は同一である可能性を消せていないため「少なくとも」と述べた。) 特に、付随する群が同型でないガロア点を曲線上に２つもつ曲線の例を初めて与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画に記述した課題「はめ込み平面曲線のガロア点分布」に関して、標数零の場合に、上記のように上限を与えることができた。さらに、はめ込みでない場合にはより強い結果が得られたため、標数零に関しては「計画以上に進展している」といえる。計画の段階では一般標数において上限を探る予定であったが、正標数においてはどの命題に注意が必要であるかが明確になった。
「ガロア点を複数もつ」判定法は、ガロア点を複数もつ平面曲線の構成に役立つため、ガロア点の個数の上限を探る手がかりを与える。これは任意標数における進展である。
全体(任意標数)としてはおおむね順調であり、標数零での計画以上の進展を含めて、上記のように評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
「はめ込み平面曲線のガロア点分布」の研究を継続して行う。任意標数で、内ガロア点の２番目の上限を探索する。また、外ガロア点の分布に注目し、特徴的な分布をもつ平面曲線を捜索する。ここでは今年度得られた「ガロア点を複数もつ」判定法が有効と思われる。
非特異平面曲線の準ガロア点分布の研究を始める。準ガロア点の個数の上限を研究する。
２９年度後半から、準ガロア点と有理点・符号理論との関係の研究を始める。
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| Causes of Carryover |
年度始めに計画していたイタリア出張について、連絡調整がうまく行かず、行くことができなかった。それにより海外旅費の余剰額が出た。一方、国内出張旅費と論文の英文校正が必要となり、その余剰額の一部をこれらに充てた。残額はこれらの引き算といえる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内出張旅費及び論文の英文校正に充てたい。
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