2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05090
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
高木 寛通 学習院大学, 理学部, 教授 (30322150)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 素Q-Fano 3-fold / Key variety / P2×P2ファイバー構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該研究者の研究テーマは、Q-Fano 3-foldの分類問題であるが、そのテーマについて、本年度は余次元４の素Q-Fano 3-foldの例を組織的に構成する研究を行った。長い間、1/2(1,1,1)-特異点のみ持つ素Q-Fano 3-foldについて、それを重み付き完全交叉として含むより大きな次元のQ-Fano多様体（以下、これをKey varietyという）の構成の研究を行ってきて、余次元４に限らず、多くの場合に成功していた。それについての論文を執筆中であったが、その最中に、Coughlan-Ducatによる、彼らがCluster varietyと呼んでいる多様体の重み付き完全交叉として、余次元４で商終着特異点のみ持つ素Fano 3-foldの例を構成する仕事が現れた。その仕事と自分の仕事とのかかわりを理解する過程で、余次元4の場合、当該研究者の構成したkey varietyの一つが彼らのCluster varietyを重み付き完全交叉として含むことに気づいた。これにより、当初、1/2(1,1,1)-特異点のみ持つ素Q-Fano 3-foldの例にのみ通用すると考えていたKey Varietyが任意の商終着特異点を持つ場合にも通用することが分かった。さらに、Cluster varietyを含まないKey varietyも構成でき、その重み付き完全交叉として、Coughlan-Ducatが構成できなかった余次元４の素Q-Fano 3-foldの例を組織的に構成することに成功した。当該研究者の構成したKey Varietyは射影幾何的にも豊かな構造を持ち、特に、P2×P2ファイバー構造、P1×P1×P1ファイバー構造と深く関係しているのが著しい。以上の成果についての論文を現在執筆中であり、完成し次第、投稿する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当該研究者の研究目標はすべての素Q-Fano 3-foldの分類を行うことであるが、素Q-Fano 3-foldは非常にたくさん存在するため、戦略として、まずは、1/2(1,1,1)-特異点を持つ場合を完全に理解することから始めようと考えていた。ところが、Coughlan-Ducatの仕事をきっかけに、当該研究者の研究が実はより一般の特異点を許す素Q-Fano 3-foldの分類につながっていることを発見し、一気に一般の場合への道筋が開けた。本年度は余次元４の場合に集中したものの、もともと当該研究者は、特異点に条件を付けていたが余次元には条件を付けていなかった。本年度の一般化の成果により、次年度以降、当該研究者がこれまでに行ってきた1/2(1,1,1)-特異点のみ持つ素Q-Fano 3-foldの研究を、余次元5以上で特異点がより一般のQ-Fano 3-foldの分類研究へ活かす足掛かりを作ることもできたので、期待以上の進展がみられた。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該研究者の構成した1/2(1,1,1)-特異点しか持たない素Q-Fano 3-foldのKey Varietyが余次元４の場合、任意の商終着特異点を許しても通用することが分かった。今後は、余次元5以上の場合にも、当該研究者の構成した1/2(1,1,1)-特異点しか持たない場合に構成したKey varietyを、任意の商終着特異点を許すQ-Fano 3-foldの分類の研究に活かしていき、すべての場合の分類の完成を目指す。
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| Causes of Carryover |
昨年度末に多くの研究集会が企画されていたが、新型コロナウイルス感染症の影響で、参加予定であったすべての研究集会が中止となり、旅費に使用できなかったため。
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