2020 Fiscal Year Research-status Report
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16K05090
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
高木 寛通 学習院大学, 理学部, 教授 (30322150)
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2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Q-Fano 多様体 / P^2×P^2 ファイブレーション / 森理論 / 射影幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、3次元 Q-Fano 多様体 X のうち、その反標準因子が因子類群を生成し、反標準線形系から定まる重み付き射影空間に埋め込んだ時に余次元が 4 となるものについて研究し、Key Varieties for Prime Q-Fano Threefolds related with P2×P2-Fibrations. Part I という論文にまとめた（現在投稿中である）。本研究では、より大きな重み付き射影空間に含まれるQ-Fano多様体 V の中で、重み付き完全交叉として得られる上記の X の例を組織的に構成した。構成された例は24種である。この研究のモデルは向井茂氏による非特異の場合の研究であり、向井氏の場合、V に当たるものは射影有理等質多様体であったが、本研究の場合は、代数群 SL3 が作用する 14 次元のアフィン多様体 W に様々な重みを入れて得られる射影多様体である。一つのアフィン多様体 W から出発して、重みと完全交叉による切り方を変えることで、24種の異なる3次元 Q-Fano 多様体が得られるのが当該研究者として興味深く感じた。このような例の構成は、最終的には、Q-Fano 多様体の分類、モジュライの記述に役立つものと期待している。本研究で得られた W の射影幾何的な性質も興味深く、特に、Wの適当な射影化は P^2×P^2 ファイブレーションの構造を持つ。さらに、そのファイブレーションの構造は、古典的な二次曲線の極と極線というテーマとも密接に関係している。論文ではこれらの射影幾何的な性質についても詳しく解明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元 Q-Fano 多様体の分類が本研究の目的であるが、研究実績の概要で述べた、反標準因子が因子類群を生成し、反標準線形系から定まる重み付き射影空間に埋め込んだ時に余次元が 4 となるものは、その一つの主要なクラスをなしている。現在、この分野では、まずこのクラスを理解することが重要であると考えられており、近年、そのテーマの論文がしばしば出版されている。研究実績の概要でのべた研究成果は、当初、特異点に強い条件を課しており、より限定的であったが、研究実績の概要で述べたアフィン多様体Wにいろいろな重みを入れればより多くの Q-Fano 多様体の例が得られることが分かり、成果がより一般的なものとなった。現状では、余次元 4 の例を組織的に生み出すという方向性だが、最終的には、これらの例がすべての場合をカバーし、分類に昇華するものと期待できる。以上をもって、おおむね順調に研究が進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
反標準因子が因子類群を生成し、反標準線形系から定まる重み付き射影空間に埋め込んだ時に余次元が4となる3次元 Q-Fano variety について、今年度の研究では、P^2×P^2 ファイブレーションに関係したものを扱った。まず、このような 3 次元 Q-Fano variety で、まだ、例が構成できていないものがいくつかある。それについて、研究実績の概要で述べた方法で構成できる例を作るというのが、本年度中の1つの目標である。また、実は、P^2×P^2 ファイブレーションではなく、P^1×P^1×P^1 ファイブレーションに関係した例も構成できる。これについても、当該年度、相当に研究が進んだが、当該年度は、研究実績の概要に述べた論文の執筆に集中したため、結果をまとめるには至らなかった。本年度中に、結果をより洗練させ、論文にまとめることを目標にしている。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため、研究発表のための旅費、および、計画していた国際共同研究のための招へい旅費の使用ができなかったため。
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