2017 Fiscal Year Research-status Report
大域的F正則性，ファノ多様体とフロベニウス直像の有限性
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16K05092
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | フロベニウス直像 / 有限F表現型(FFRT) / 正標数 / 2次元正規次数環 / 5次del Pezzo曲面 / 反標準環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究対象の一つは，正標数の特異点または射影多様体が，局所的または大域的な有限F表現型（finite F-representation type，以下FFRTと略記）をもつ条件に関する考察である．本年度は，正標数 p の体上の次数環のFFRT性に関連して，次の二つの研究を行なった．
1. 前年度に引き続き，2次元正規次数環のFFRT性について，大川領氏（早大理工）と共同で研究し，共著論文 "The FFRT property of two-dimensional normal graded rings and orbifold curves"（投稿中）を執筆した．
2. 3次元の正規次数環のうち，FFRT をもつことが期待されているもののその証明が得られていない例として，5次del Pezzo曲面 X の反標準環 R＝R(X,-K_X) が考えられる．反標準環 R の FFRT 性は，反標準束 L＝-K_X のテンソル冪の累次フロベニウス直像 (F^e)_*(L^i)，ただし，e＝0,1,2,... は非負整数，i は 0≦i≦(p^e)－1 なる整数，の直既約ベクトル束への直和分解を調べることにより判定できる．先行研究において，i＝0（p, e は任意）の場合は解決しているが，それ以外の場合は未解決であるため，p^e＝3,4,5; i＝1,2 などの場合に具体例の計算を行ない，これに基づいて，p が奇素数，i＝(p^e－1)/2 の場合に次の予想を立てた:
予想. 上の状況で，q＝p^e（奇数), i＝(q－1)/2 とおく．このとき，(F^e)_*(L^i) は階数 (5q^2＋3)/8 の自由層と，ある階数 3, c_1＝0 の直既約ベクトル束 (q^2－1)/8 個の直和に分解する．
この予想を，(q,i)＝(3,1), (5,2)の場合に検証した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2次元正規次数環の FFRT 性については，予想された結果が得られた．ただし，残りの例外的な場合の詳細な研究についてはまだ手をつけていない．高次元Fano多様体のフロベニウス直像については，最初に検討すべき例と考えていた 5次del Pezzo 曲面の場合の一部分について，具体的な予想を立てることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
5次del Pezzo 曲面のフロベニウス直像について，整数 i が 0≦i≦p^e－1 の範囲にあるすべての場合において，現在もっている手法が適用可能であるかか否かを見極める．可能であれば，これを完成させることを目指し，さらに他のdel Pezzo 曲面への拡張を考える．困難であれば，他の手法の検討，および，前年度放置していた，2次元正規次数環の例外的な場合の検討を行なう．
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| Causes of Carryover |
当該年度の残額5,816円は，旅費，図書購入などの物品費として使用した実支出額全体の1％未満の端数であり想定範囲であるため，次年度も今年度と同様の使用計画である．
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Research Products
(1 results)
