2019 Fiscal Year Research-status Report
大域的F正則性，ファノ多様体とフロベニウス直像の有限性
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16K05092
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 有限F表現型(FFRT) / del Pezzo 曲面 / 正標数 / Frobenius直像 / 反標準環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，正標数の 5次 del Pezzo 曲面 X の反標準環の FFRT 性に関連して，標数 p=2, 3 の場合に，反標準束 L=-K_X の n 重テンソル積のフロベニウス直像 F^e_*(L^n) の構造を研究し，n が 0 以上 (p^e-1)/2 以下の範囲にある場合のフロベニウス直像は，以下の直既約ベクトル束の直和になることを示した．ただし，X を射影平面の4点爆発として実現するときの例外曲線を E_i (i=1,2,3,4), E=E_1+E_2+E_3+E_4 とし，射影平面上の直線の引き戻しを H とする．
(1) 直線束 O_X, L_0=O_X(E-2H), L_i=O_X(E_i-H) (i=1,2,3,4), 直線束 O_X(E_i+E_j-H); (2) 階数 2 の直規約ベクトル束 G ((2,5)-Grassmann 上の普遍商束の引き戻しの双対束), および，G_i(= G と L_i のテンソル積); (3) 階数3 の直既約ベクトル束 B (報告済み), 階数 3 の自己双対直既約ベクトル束 F_{1,1,1/2} (奇標数の場合のみ); (4) 階数 4 の自己双対ベクトル束 F' (標数 2 の場合のみ); (5) 階数 7 のベクトル束 E.
以上から，標数が 2, 3 の5 次del Pezzo曲面 X の反標準環は 有限F表現型（FFRT）をもつことが示された．この問題は，標数 5 以上では未解決であるが，一般の標数でもFFRT性が成り立つことが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
一般の標数 p における5次del Pezzo曲面上のFFRT性を示すことが目標だが，現状は p=2,3 である．
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| Strategy for Future Research Activity |
標数 2, 3 の場合について結果をまとめ，投稿する．並行して，一般の標数の場合について，5次 Del Pezzo 曲面の（有限群でない群による）商空間としての構造など，従来とは異なる視点，方法を検討する．
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| Causes of Carryover |
COVID-19 の影響による出張の中止などにより，旅費として使用予定であった研究費が未使用に終わった．図書，計算機などの購入のために使用する予定である．
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