Global F-regularity, Fano variety and the finiteness of Frobenius direct images

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16K05092
• Research Institution: Tokyo University of Agriculture and Technology
• Principal Investigator: 原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 有限F-表現型（FFRT） / del Pezzo 曲面 / 正標数 / フロベニウス写像 / 反標準環

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題の中心的な興味の対称の一つは，正標数の可換環に関する有限F-表現型（FFRT)とよばれる性質である．本課題ではこのFFRT性を，正標数の代数多様体上のフロベニウス射の直像を調べることにより，代数幾何的な視点から考察している．
本年度においては前年度に引き続き，非特異な5次del Pezzo曲面 X の反標準環のFFRT性に関して，標数 p=2, 3 の場合に得られていた，反標準束 L=-K_X の n 重テンソル積のフロベニウス直像 (F^e)_*(L^n) の直既約ベクトル束への直和分解に関する結果を，一般の標数 p>0 に拡張することを目的として，いくつかの方法について検討した．
従来の方法は，非特異な 5次del Pezzo 曲面 X が，射影平面上の一般の位置にある 5 点を爆発して得られることを用いて，X をトーリック曲面となる 2枚のZariski開集合 U, V で被覆し，フロベニウス直像の U, V への制限が直線束に直和分解することを用いて，ベクトル束の貼り合せ行列を基本変形することにより，直和因子の同型類を決定しようとするものであるが，5 以上の標数では行列のサイズが大きくなって計算が困難である．
いくつか検討した代替手段のうち，現時点で有力と考えられるものは，フロベニウス直像 V=(F^e)_*(L^n) の直和分解に現れる直既約ベクトル束の候補は既にリストアップしてあるので，これらの具体的な直既約（安定）ベクトル束 E 個々について，"pairing" の写像 Hom(E,V)×Hom(V,E)→Hom(E,E)=k の階数を直接計算することによるものであるが，本研究課題の期間中に結論を得ることはできなかった．