2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05096
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| Research Institution | University of Fukui |
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Principal Investigator |
小野田 信春 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (40169347)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 / インド / アフィン代数幾何学 / 可換環論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、研究課題に関して、2次元正則局所環 R 上の環 A の有限生成性についての考察を継続し、以下に示すような定理および関連する具体例を構成することができた。
定理 R は剰余体 k の代数的閉包が k 上有限次元であるような2次元完備正則局所環とし、A は R 上平坦かつ超越次元が1のネーター整域とする。R の非可逆元 π が存在して、A[1/π] は R[1/π] 上有限生成かつ πA の任意の随伴素イデアル P に対し、R/(P∩R) 上 A/P の超越次元は正であるとする。このとき、A は R 上有限生成である。
例 R=C[[u,v]] は複素数体 C 上の2変数形式的冪級数環とし、p_n は大小順に並べた n 番目の素数とする。X は不定元とし、各 n に対し、次のようにして x_n を帰納的に定める: x_0 = uX, x_1 =(vx_0 - 1)/u, x_{n+1} = (x_n^p_n - v)/u. このとき、D = R[x_0, x_1, ... ] として A = R[X]∩D とすると、A はネーター整閉整域であり、かつ R 上有限生成ではない。
以上の定理および具体例はこれまでの研究成果として得られた A が R 上有限生成となるための条件を与える定理を補強するものである。
さらに、継続課題に関連して、べき等元で生成された環に関する研究も継続し、一定の成果を得た。具体的には、整域 R 上べき等元で生成され、階数が可算無限の環 A について、A が有限個の原始べき等元をもつ場合の構造を決定するとともに、原始べき等元を可算個もつ場合の考察も行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究課題を遂行するためには、正則局所環 R 上の環 A の有限生成性に関する考察が不可欠である。これに関しては、この間研究を継続して行い、一連の成果を上げてきたが、今年度得られた定理とそれに関連する具体例は、これまでの結果を補強するものである。特に、ネーター環ではあるが有限生成ではないような環がどのようにして構成できるか、その一般的な方法を与えることができたのは大きな成果であると考えている。具体例が、R 上1変数多項式環 R[X] の部分環として得られていることにも大きな意味がある。研究課題自体の目的はまだ達成していないが、達成に向けて手掛かりを得ることができた。この点は満足している。
なお、今年度は、研究課題に関連して、べき等元で生成された環についての研究も並行して行い、昨年度に得られた研究成果をさらに発展させる結果を得ることもできた。これは望外の成果であると考えている。
現在までの状況は以上の通りであるが、全体を総合的にみて、おおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
予定していた期間内に研究を完成させることができず、1年間延長することになったが、次年度は課題解決に向けて最大限の努力を傾注する。具体的には、2次元正則局所環 R 上の A^2-fibration の構造解明に関して未解決の部分を完成させ、さらに離散付値環上 R 上の A^n-fibration の研究を継続して進めて完成させる。合わせて、3番目の課題として設定した「体 K 上の付値環 V と K 上の代数関数体 L の付値環 W で V の拡大となっているものについて、W の剰余体の V の剰余体上の代数関数体としての構造解明」にも引き続き取り組み、さらに4番目の課題である「全射問題」の研究を進展させる。これらは、相互に関連しており、独立的にではなく全体を統一的に考察して解決を目指す。
以上の目的とともに、べき等元で生成された環についての研究も継続して行い、特に原始べき等元を可算個もつような環の構造決定に取り組む。
これらの研究を遂行させるために、海外共同研究者との連絡をさらに密にするとともに、海外共同研究者のもとに出張して共同研究を行う。
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| Causes of Carryover |
今回の補助事業では、海外共同研究者3名に加わって頂き、海外共同研究者のもとに赴いて研究を行う計画を立てていた。しかし、先方との調整がうまくいかず、双方にとってもっとも好都合なのは来年度ということになったため、年度内の出張は断念せざるを得なかった。以上の理由から次年度使用額が生じた。
（使用計画）
今年度計画していた海外共同研究者のもとへの出張を次年度行うこととし、未使用額は主としてその経費に充てる。
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