2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of polynomial fibre rings
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16K05096
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| Research Institution | University of Fukui |
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Principal Investigator |
小野田 信春 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (40169347)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 / インド / アフィン代数幾何学 / 可換環論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も研究課題に関して，2次元正則局所環 R 上の環 A の有限生成性についての考察を継続し，総仕上げを行った．まず，すでに得られている定理について，条件が満たされない場合は結論が成り立たないことを示す次の例を構成した．
例1．k は有理数体 Q の代数的閉包とし，R は k 上2変数の多項式環 k[u,v] の極大イデアル (u,v) による局所化とする．また a_0=1 とし a_n=v^n/n! とおく．さらに，x_0=uX とし，x_{n+1}=(x_n - a_n)/u により x_n を帰納的に定め，D=R[x_0,x_1,...,x_n,...] とする．ただし，X は不定元である．このとき，D はネーター環ではない素元分解整域であり，D/uD = R/uR が成り立つ．
例2．R=C[[u,v]] を複素数体 C 上の2変数形式的冪級数環とする．p_n を n 番目の素数とし，p_1 から p_n までの積を q_n とおく．S を C[[v]] 上に v の q_n 乗根をすべて添加して得られる環とする．x_0=uX，x_1=(x_0^2 - v)/u，x_n = (x_{n-1}^{p_n} - x_{n-2})/u により x_n を定め，D=R[x_0,x_1,...,x_n,...]，A = D ∩ R[X] とおくとき，A はネーター環ではないクルル環である，
R が1次元ネーター整閉整域で A が1変数多項式環 R[X] のクルル部分環なら A はネーター環であるという定理を以前証明したが，例2は R が2次元の場合は，完備正則局所環であってもそれが一般的には成り立たないことを示している．上記の結果も含め，これまでの成果はまとめて査読付き論文として公表した．
さらに，冪等元で生成される環についての研究も継続し，査読付き論文として公表した．
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