2019 Fiscal Year Annual Research Report
On resolution of singularities of algebraic varieties in positive characteristic
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16K05100
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
川ノ上 帆 中部大学, 工学部, 准教授 (50467445)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 特異点解消 / IFP |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度に引き続き正標数における特異点解消に関する研究を行なった. 本研究者は正標数一般次元における特異点解消の解決を目指してIFPというアプローチを提唱し, 米Purdue大学の松木謙二氏と共同でこの理論の整備, 発展を推進している. これまでの研究により, IFPを適用することによって空間の次元にかかわらず一般の特異点解消が単項型と呼ばれる場合のそれに帰着することが示せている. この単項型の解析は全空間3次元(平面の特異点解消に対応する)の場合は既に成功している. この手法を拡張, 発展させることによって一般次元の解析を完成させることが本研究の目的であった. 当初はこの枠組みのもとで全空間4次元の場合を昨年度までに公表も含めて完成させるという予定であった. しかし研究が進むにつれ全空間4次元の場合が予想を遥かに超えて困難であることが判明したので, これに関する研究を継続した. 全空間3次元の場合は例外因子の配置に従って3種類の場合分けを考え, それぞれに不変量を付随させた. そして爆発を通じての相互の遷移によって不変量が改善されることを示す形で解析に成功した. 全空間4次元の場合も同様の解析を進めているが, 解析は甚だしく困難である. 配置自体の数が増えるのでその遷移も含めると解析すべき場合の数が膨大であり, 加えて全空間3次元の場合に比べ爆発の中心の不定性が高く有効な不変量の発見が容易でないからである. 夏期に松木氏が京都に中期滞在したことなどの機会も生かして研究を進め, いくつかの場合においては配置の不変量を定義した. またそれらの遷移に際する振る舞いが良いことを確認するなどの部分的な進展を得た. しかし各配置における不変量の有効性の検証には全ての場合に整合的に改善されることを確認する必要があるため, 本年度に公表できる結果を得るには至らなかった.
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