2017 Fiscal Year Research-status Report
代数曲線族の不変量並びに特異点に関連する高次元連分数の研究
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16K05104
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| Research Institution | Tohoku Gakuin University |
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Principal Investigator |
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 退化 / 局所不変量 / 代数曲線 / モジュライ空間 / モノドロミー / 特性類 / 連分数 / 自己同型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は代数曲線の退化族の研究を中心に下記の進展があった。
(1) 非超楕円的種数3の退化族のファイバー芽のHorikawa指数の決定問題に関して、昨年度モジュライ点がDeligne-Mumford コンパクト化の高々余次元1の特異点跡に入るという仮定の下で同不変量を確定し、プレプリント「Horikawa index of genus three via signature divisor, I」（50ページ弱）を作成していた。
ところで上記研究により得られたアイデアですでに問題の核心部分はクリアされているという確信があったので、これを正式発表することを控えたまま研究を続行していたところ、上記の仮定を置かない任意の状況でこの不変量が確定でき、問題の完全解決に至った。ただ計算量が膨大で論文としてまとめるには至っていない。
(2) 代数曲線の退化族の位相同値類はNielsen-Matsumoto-Montesinos の位相モノドロミー情報で決まるが、ではこの位相構造を先に与え、その上にどれだけの解析構造が許容されるか？ この基本問題に対し、モジュライ写像を位相モノドロミー情報を用いて明示的に書くことにより解を得ることができた。この成果を論文「Pseudo-periodic moduli maps of degenerations of curves」として執筆中であり、完成が近くなっている。
(3) もう一つのテーマである高次元連分数とDedekind和に関する研究については、投稿中の論文「Multi-dimensional continued fractions for cyclic quotient singularities and Dedekind sums」をレフェリーの示唆を受けて何度か改訂しようやくacceptされ、Kyoto J. Math. に掲載予定となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
実績欄の項目 (1), (2) に沿って述べたい。
(1) 前年度までの研究で、退化ファイバー芽のモジュライ点が超楕円跡に入る場合が本質的であり, この場合モジュライ写像の像と超楕円跡の局所交点数を測る超楕円的重複度と名付けた量の計算に帰着できることがわかっていた。本年度は、モジュライ点が余次元2以上のストラタに入る場合についても、この量を計算した。対応する安定曲線の自己同型がデリケートになり且つ分類項目も多くなるが、それに応じた細かい工夫を行った。例えば点付き楕円曲線を既約成分に持つ場合に、指標付きテータ関数を多少とも精密に使う等である。こうして基本的には当初の構想にほぼ沿った形で解を得ることができた。
(2) この成果に至ったアイデアは次のとおりである。精密安定還元族の底円盤からの安定曲線の倉西空間への自然写像は、群作用の保存性から強い制限が付く。この群作用ともとのモノドロミー情報との自然な対応を介して、倉西空間の座標系をうまく選びつつ、この写像を明示的に書き下すことができる。その結果、各座標関数の各単項式部分の指数は、群作用の微分形式への表現の指標から定まるある周期性を持つことがわかる。そしてこの写像の特性が、退化の解析構造を正確に規定していることがわかる。この問題の実際の動機は、数年前松本幸夫氏から伺った「普遍退化族」の構成の試みを、筆者の立場で行ってみようという努力が結実したものである。
なお実績欄 (3) の項目については、数学的には新しい進展は得られなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
実績欄の項目 (1), (2), (3) に沿って述べたい。
(1) これについては現在研究ノートに記してある成果を、正式論文にまとめあげる努力をすることのみである。できる限り簡潔に書いたとしても、相当長い論文になると思われる。現在の余次元１ストラタまでのプレプリントを改訂しつつ I とし、余次元2以上の場合を II とする形で2つに分けて出版する可能性も視野に入れつつ進めたい。
(2) これについてもまず執筆中の論文を仕上げることであるが、これは20~30ページ程度の長さで完成するものと思う。論文の主旨は、モジュライ点を指定した上で、そこでのモジュライ写像の写像芽を確定するという意味で「局所的」である。今後の方向としては、指定されたモノドロミー情報に対応する自己同型を持つ安定曲線のなすモジュライ空間全体の中での部分跡の大域的研究があげられる。これには Terasoma, Abramovich-Vistoli を含む多くの関連先行研究があり、それらから学びつつ進めたい。
(3) 上記(1) (2)で本年度は手一杯になる可能性があり、連分数及びDedekind 和方面は先送りになるかもしれないが、ともかく目標と方針のみ記すと以下のとおりである。
一つは、3次代数体の基本単数の組を与えて, それを表現する我々の2次元連分数展開から数論的に有用な新しい循環連分数を取り出せるのではないかという点である。もう一つは、岡細分から生じるAtiyah-Singer同変L類と拡張されたDedekind-Zagier 相互律の関係を、同変Todd類やガンマ類に適応してみることである。
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Research Products
(4 results)
