2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05105
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
細野 忍 学習院大学, 理学部, 教授 (60212198)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | カラビ・ヤウ多様体 / 双有理幾何学 / 多変数超幾何関数 / 超幾何微分方程式 / モノドロミー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
カラビ・ヤウ多様体のミラー対称性は，カラビ・ヤウ多様体の変形族の幾何学の研究に一つの主要な動機を与えている．本研究では，初年度から継続して完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体の変形族と，その退化を手がかりに観察できるミラー対称性を具体的に，また，詳細に調べる手法で研究している．その結果，これまでに，完全交叉型の複素３次元カラビ・ヤウ多様体にみられる双有理幾何学と，対応するミラー族のホッジ構造についていくつかの興味深い観察を行うことが出来た．とくに，無限位数の双有理変換を持つような完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体の具体例を調べることによって，この場合に無限個の錐の和集合で表される双有理幾何学における可動錐(movable cone)が，対応するミラー族においてはモノドロミーに関する冪零錐の自然な無限貼りあわせとして現れることを示しすことが出来た．可動錐は複素３次元以上のカラビ・ヤウ多様体で非自明な構造を持って現れるが，複素２次元のK3曲面の場合に見られる同様な構造と対比することによって，冪零錐の貼りあわせの違いを際立たせることが出来た．今年度は，これまでの結果を整理して論文として発表した．論文は，2018年度中に査読雑誌に掲載の見込みである．
以上の成果と並行して，完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体の変形族の幾何学，特にモノドロミー性質の解析手法について技術的な蓄積をなすことが出来た．解析的手法は，多変数微分方程式の解析を中心に行うが，変数空間のコンパクト化の問題が常に問題となる．具体的な変形族の解析をしていて，グラスマン多様体上の多変数微分方程式が登場する例に遭遇することが出来た．コンパクト化と局所解の構成・変形族の退化に関して，新しい知見に結びつく確かな手がかりが得られており，次年度以降に継続発展させることを計画している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画に従ってカラビ・ヤウ多様体の変形族を具体的に調べ，退化点近傍で可動錐とモノドロミー冪零錐の対応に関して新しい知見にまとめて発表することが出来，研究計画は概ね順調に進展していると判断している．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの視点に，今年度新たに見えてきた微分方程式の変数空間のコンパクト化と言う視点を加えて，発展させていく．このコンパクト化の問題は，以前に国外の研究者と行った共同と深く関連しており，再び共同研究を実現し発展させていく．
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| Causes of Carryover |
新しく発展して見えてきた研究課題について，Bong Lian 教授(米国Brandeis大)を招聘して共同を計画したが，同氏の都合によって年度内中に実現出来なかったため，その分を次年度に先送ることとしました．
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Research Products
(7 results)
