2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05105
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
細野 忍 学習院大学, 理学部, 教授 (60212198)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | カラビ・ヤウ多様体 / ミラー対称性 / 周期積分 / 多変数超幾何微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究で，完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体とそのミラー族の退化に関して幾つかの新しい観察を行った．特に，ミラー族において退化の理論と共に定義される nomodromy cone が，双有理幾何学における movable cone と呼ばれる錐に対応する様子が具体例において明確に観察された．一般に族のモノドロミー行列は，族に特有な関係式を満たすが，この関係式に基づいて隣接する monodromy cone が張り合う．この張り合わせのメカニズムが双有理幾何における双有理射によるケーラー錐の貼り合わせに一致する様子を具体的な例を構成して示すことが出来た． 構成した例は，非常に具体的なもので，成果を幾つかの（国際）研究集会で発表し，また，論文にまとめて発表した．
モノドロミー行列の計算は，一般に容易なものではない．そこで，族の幾何学が比較的容易になる，複素２次元カラビ・ヤウ多様体の場合で，かつ，モノドロミー行列が完全に決定されている一例に着目した．この場合，モノドロミー行列は1990年代に決定されていたが，族が最大退化する場所が分かっていなかった．このため族のパラメーター空間の幾何学の解析を， 高木寛通氏(学習院大)，Bong Lian氏(米国，Brandeis 大),S.-T. Yau氏(米国，Harvard大）と共に開始して，最大退化に関して明快な結論を得ることが出来た．最大退化の様子が分かるとその近傍でミラー写像を構成できるが，着目した例の場合，ミラー写像をテータ関数と呼ばれる特徴的なモジュラー関数で表示することが出来た．また，結果を共著論文(プレプリント)として発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画にそって具体的な例に基づく解析を進めたところ，完全交叉型から視野が拡がって二重被覆型のカラビ・ヤウ多様体の族を含む形で発展しているが，カラビ・ヤウ多様体の族の幾何学に関する新しい知見の蓄積が得られている．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度にあたり，研究成果のまとめと同時に研究成果の発表を国内外の研究集会で行う．国外の研究集会としては，今のところ，"Derived category and related topics" （May. 26-31, in Guangzhou, China)， ”Categorical and Analytic Invariants in Algebraic Geometry and QFT” (Jun. 24-28 at MIPT, Dolgoprudny, Russia） での招待講演を予定している．
成果の発表と合わせて，当初の計画に従って，これまでの具体例の蓄積に基づいてBCOV正則アノマリー方程式の数学的構造の解明を手がけ，同時に高次種数のグロモフ・ウイッテン不変量の計算への応用を行う．また，この研究分野における海外の研究者を招聘して相互に議論を深めて研究を実施する．
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| Causes of Carryover |
次年度が最終年度にあたり，何名かの国外研究者の招聘をまとめて行うことにした．招聘を同時期に行ない，小さな研究集会の形式で実施することで，研究代表者および招聘研究者にとって，より効果的な討論が出来ると判断した．このための招聘旅費として次年度へ持ち越しすることにした．
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