2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05105
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
細野 忍 学習院大学, 理学部, 教授 (60212198)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | カラビ・ヤウ多様体 / ミラー対称性 / 複素多様体の変形 / 多変数超幾何方程式 / モジュライ空間 / モジュラ―関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
４年間の研究計画に従って完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体の変形族とその退化に関する研究を実施した．前年度までに，周期積分とその微分方程式の解析を行ない，周期積分に現れるモノドロミー性質についてミラー対称性の視点から，いくつかの興味深い事象を見つけることが出来た．一般に．変形族の退化に伴って現れるモノドロミー性質は，変形族のモジュライ空間上に何か良いモジュラ―関数が存在することを示唆するものであることが知られている．今年度は，こうして示唆されるモジュラ―関数の解明に焦点を当てた研究を行った．特に，完全交叉型と多くの点で類似を持つ二重被覆型のK3曲面について，B. Lian教授 (Brandeis 大)，S.-T.Yau教授 (Harvard大),高木寛通教授(学習院大)との共同研究を実施して，この場合にとても良い性質のモジュラ―関数を得ることが出来た．この２重被覆型のK3曲面は，ル・ジャンドル族と呼ばれる古典的な楕円曲線の一般化であって，得られたモジュラ―関数は古典的な楕円ラムダ関数を自然にK3曲面に拡張するもので，特に種数２のテータ関数を用いて具体的な表示を得ることが出来た．共同研究では，変形族のモジュライ空間の(代数)幾何学を詳細に記述することによって，モジュライ空間上に定義される多変数微分方程式系の局所的な構造と大域的な構造の両者を明確に結びつける定式化を可能にし，その結果としてモジュラ―関数を得ることが出来た．いくつかの点は，高次元の二重被覆型カラビ・ヤウ多様体にも拡張することが観察され，結果の高次化を目指して共同研究を継続して実施した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
カラビ・ヤウ多様体の変形族を具体的に構成し，それに対する周期積分を微分方程式の解析と共に行うことが研究の第一段階であった．これについて，完全交叉型のカラビ・ヤウ多様体でそのモノドロミー性質の詳細な解析が出来る”良い”具体例を見つけることが出来き，ミラー対称性の幾何学の解明に迫る良い事例であることを示すことが出来た．今年度は，二重被覆型K3曲面の場合に，モジュライ空間の幾何学とモジュライ空間上の微分方程式の解析を結びつけることを行ない，その結果としてモジュライ空間上に新しいモジュラ―関数を得ることが出来た．二重被覆型カラビ・ヤウ多様体に関して，完全交叉型カラビ・ヤウ多様体と多くの点で類似点を観察することが出来，ミラー対称性の幾何学の解明に向けて新しい視点が得られたと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度が最終年度であったため，海外で理論物理学や複素幾何学の視点からカラビ・ヤウ多様体を研究している研究者を招聘し，４年間の研究成果をもとにして集中的な討論を行ない，将来の発展的な展開に結びつけることを計画した．残念ながら，招聘時期を３月に設定したため，新型肺炎の蔓延の時期と重なり，招聘を延期することになった．延期することになった研究者の招聘を出来るだけ早期に実施して，研究成果の総括を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
最終である今年度の３月に，理論物理学者および複素幾何学者の招聘を計画していたが，新型肺炎の蔓延のため共に中止・延期せざるを得なくなった．早期に再び招聘して研究計画の総括を行う予定である．
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