2017 Fiscal Year Research-status Report

正標数代数幾何学の深化

Research Project

Project/Area Number	16K05109
Research Institution	Tokyo University of Science
Principal Investigator	伊藤浩行東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (60232469)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords	正標数特異点 / 群スキーム / 有理特異点 / 代数曲面
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題は、正標数の体上定義された代数多様体と特異点に関して、代数幾何学、特異点論、表現論、数論、複素幾何学、応用代数学などにおける周辺分野を取り入れた複眼的視野からの研究により、次の3点を主目的としたものである。 A) 特異点論における正標数特有の病理現象の統括的解明とそれらを含む一般理論の構築、B) K3曲面やCalabi-Yau多様体の関する諸問題の解決とそのモジュライ空間の構造解明、C) 他分野との連携を取り入れた正標数代数幾何学研究の試み。このうち A) に関しては、昨年度に引き続き、野性的群スキーム作用による商特異点に関する研究と、2次元特異点の中でも最も基本的かつ重要な対象である有理二重点に関する研究を中心に行なった。野性的群スキーム、特に高さが1の加法的群スキームや乗法的群スキームによる商特異点と擬導分の関係性について従来得られていた標数が2の場合以外にも、散発的な結果を得るとともに、高さが2以上の群スキームに対応する高次導分や高次擬導分についても考察を行った。これらの応用として、有理二重点が群スキーム作用による商であるか否かに関し、標数が2の一部のD型をのぞいて、良い結果を得た。次にB)については、準超楕円ファイブレーション構造をもつ曲面の考察を前年度に引き続き扱い、有理二重点を一般化したと考えられる興味深い特異点を特定するに至った。またこの特異点に関して、ファイブレーション構造やそのJacobiファイブレーションにおけるMordell-Weil群との関連についても結果を得た。最後に、C)に関しては、BrieskornーSlowdowy理論である、表現論と群スキーム商特異点との関連について考察を行なったが、良い結果は得られていない。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 3つの主目的毎に記述する。 A) 高さが1である野性的群スキームと付随する加法的p閉である擬導分を考察することで、その作用による商特異点の標準形や性質を与える結果を考察した。前年度までに得られていた標数が2の場合の十分条件のさらなる拡張や、他の標数に関して散発的な結果を得た。また、乗法的群スキームによる商に関しても、対応する導分作用を考察することで、興味深い例を得た。これにより、従来確かめられていた、群作用の商として得られる有理二重点の種類が増え、有理二重点は何らかの意味において商特異点であるという予想に一歩近づいた。しかしながら、標数が2のD型特異点に関しては、構造が非常に複雑で、未解明な部分が多く、今後の研究による進展が待たれる。 B) 準超楕円ファイブレーション構造をもつ有理局面の数論と幾何について、前年度に引き続き研究を行い、その一般標数における完全な構造決定に向けて種々の考察及び計算を行った。こちらも標数が2の場合に加え、一般の標数の場合に、有理二重点を一般化したと思われる興味深い特異点を得ることができた。 C) 高さが1である群スキームと導分に関しては、ある程度満足のゆく一般的理論があるが、これを擬導分に拡張することについて、前年度に引き続き研究を行い、ある程度の結果を得ている。また、高さが1よりも高い場合の理論構築を行ったが、非自明な例を作ることはできたが、一般理論までは到達していない。
Strategy for Future Research Activity	A) 野性的群スキームに関しての変形理論を用いて、Artin-Schreier 理論と Frobenius理論の融合はある程度はできているが、さらなる広がりが必要である。特に、高さが1より高い場合、分岐軌跡が次元を持って現れる場合の扱い、体拡大から環拡大への理論の拡張が今後の推進方向である。また、有理二重点の構造究明に向けては、まだ商特異点であることが示されいないものについてさらなる考察を続けるとともに、群スキーム商ではなく導分商として暑かった場合に、McKay対応などの未知の現象を扱うことができるか否か、もしくはMcKay対応のようなものは一部の有理二重点しか期待されないのか、この辺りをより深く考察する。 B) 準超楕円ファイブレーション構造を持つ有理曲面については、完全な分類を目指すとともに、それを利用した数論と幾何の研究を行うことが次の方向である。 C) A) の進捗状況を見ながら、JacobsonーGalois理論を一般化する方向と、p Lie理論やそれを利用したBrieskorn-Slowdwy理論の構築が待たれる。
Causes of Carryover	当初、研究成果をドイツにて開催される国際会議にて発表する予定としていたが、学内業務多忙のため取りやめ、次年度の国際共同研究及びそれに必要な旅費にすることとした。