2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05109
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
伊藤 浩行 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (60232469)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 正標数代数幾何学 / 特異点 / 有理特異点 / K3曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題は、正標数の退場定義された台数多様体と特異点に関して、代数幾何学的、特異点論的、表現論的、数論的、複素解析幾何学的な各視点から研究を行うとともに、応用代数学など周辺分野を取り入れた複眼的視野からの研究により、大きく3点の目的に大して定めたものである。それぞれの観点から実績概要を述べる。
（１）特異点論における正標数特有の病理的現象の統括的解明、およびそれらを含む一般論の構築であるが、最も単純であるが重要である有理二重点に関して研究を続けてきた。正標数にはArtinによる分類リストがあるが、リストが完全であることの証明が明示的には得られていなかった。GreuelーKroeningの仕事であるDeterminacyや分類アルゴリズムを精密化して照明を与えることにより、リストの完全性を明示的に示すことができた。また、擬導分作用の商を考えることによる有理二重点の「モジュライ」に関しても齋藤との共同研究も含めて少なからず進展があった。
（２）K3曲面やCalabiーYau多様体に関する諸問題の解決とそのモジュライ空間の構造解明であるが、正標数K3曲面のモジュライ空間の理論構築で重要な鍵を握る超特異K3曲面の単有理性予想について、Liedtkeにより与えられていた「証明」に間違いが見つかり研究の方針転換が余儀なくされた。同時に、BraggーLieblichによる新たな道筋(正標数におけるTwistor理論)も示されたので、この理論を詳細に検討し手法を取り入れようと試行錯誤を行った。残念ながら新しい結果は得られていないが、正標数K3曲面のモジュライ空間理解へ利用可能であるという感触を得た。
（３）他分野との連携を取り入れた製氷数代数幾何学研究の試みであるが、今年度は学習理論、代数統計理論との関連について調査を行った。今後に期待できそうな感触を得ているので次年度に研究を行いたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2019年度前半は学内業務が多忙のためシンポジウムでの報告・議論を見送ったものがあった。後半から特に低標数有理二重点の研究に関して進展があり、研究集会においても結果発表があった。
しかしながら2020年当初からの新型コロナウイルス感染症拡大により、多くのセミナー、シンポジウムが中止となり、また研究連絡もままならない状況となり、研究が一時的にストップしてしまった。
その後、教育業務に対して多大な資源をさかれ研究の進展が遅れている状況である。2020年度に入り少しずつ研究活動が再開され進み始めている状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
新型コロナウイルス感染症拡大により、研究スタイルが一新されると思われる。対面での直接対話や徹底的な議論が数学研究にはどうしても必要不可欠であるが、今後の見通しがどうなるかわからない状況である。一方で、インターネットを利用した遠隔セミナー等は活発に始められ、ある意味においては便利になったと言える。直接の議論ができない部分をどのように補うかはまだ解決策がない状況である。
本研究については、複素有理二重点にある表現論を鍵とする美しい理論の正標数版を、群スキームによる表現論の整備により展開したいと考えている。特にMcKay対応の正標数における類似はまだ素朴な意味ではわからない状態であるので、これを中心的課題の一つとして研究を進めたい。
正標数K3曲面に関しては、Enriques曲面に大きな進展がありそれに伴い研究の必要性がより増している。超特異K3曲面について重点的に研究を行っていく予定である。
特異点論と学習理論、代数統計との関連が進展しているが、そこに正標数特異点の入り込む余地があるように感じられる。この方向で他分野との連携研究を検討していきたい。
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| Causes of Carryover |
研究内容に関連する研究状況に計画当初から変更があり、また、新型コロナウイルス感染症拡大のため、研究計画が遅延することとなった。2020年度は研究の遅れを取り戻すとともに、次の研究課題に向けて当初予定されていた課題内容をより深化させていく予定である。
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