2018 Fiscal Year Annual Research Report
Research on rational singularities and almost Gorenstein blow-up algebras
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16K05110
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有理特異点 / almost Gorenstein ring / pg ideal / strong Rees property |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究内容の主テーマに含まれる「有理特異点」のイデアルの性質を取り出し、より広いクラスにおいて考えられるようにしたものが「pg イデアル」の概念である。pg イデアルが good イデアルであるとき、その Rees 代数（ブローアップ代数）は正則局所環の極大イデアルや最大埋入次元を持つコーエン・マコーレー代数の極大イデアルの Rees 代数と類似の性質を持つことが知られている。特に、後藤四郎氏、松岡直之氏、谷口直樹氏との共同研究において、部分的な結果として２次元のゴレンシュタイン正規局所整域のpg イデアルのブローアップ代数が概ゴレンシュタイン性を持つことを証明すること成功した。この結果においてゴレンシュタイン性という仮定は除かれるべきであると推測している。また、高次元に対する結果として、一般次元の正則局所環の極大イデアルのべきのブローアップ代数が次数付き概ゴレンシュタインを持つための必要十分条件を与えた。この結果は「次数付き概ゴレンシュタイン性」の定義について再検討が必要であることを示している。
昨年度からの研究の続きとして、Dao-高橋の不等式が成立する環の極大イデアルが pg イデアルであるという結果を含む論文を研究成果として発表した。その論文において、イデアルの強Rees性の概念を導入し、極大イデアルに付随する次数付き代数の深さが２以上のネーター局所環の極大イデアルのすべてのべきが強Rees性を持つことを証明した。極大イデアルという仮定をより一般の整閉イデアルに拡張すべきであるという意見も頂いているが、技術的な障害を取り除くことはできていない。また、この論文の研究にあたって考察の対象となった cone singularity に関する研究は今後のテーマである。また、pg イデアルと core に関する研究成果を論文として発表した。
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