2017 Fiscal Year Research-status Report

因子へのベクトル束の制限から定義される代数幾何符号の研究

Research Project

Project/Area Number	16K05111
Research Institution	Japan Women's University
Principal Investigator	中島徹日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords	代数幾何符号 / 安定ベクトル束 / 反射層
Outline of Annual Research Achievements	当研究の目的は、代数曲線上のベクトル束を用いた代数幾何符号であるSavin符号を拡張した一般Savin符号の性質を明らかにすることである。今年度に於いては, 一般Savin符号に関して以下の様な成果を得た。第一に、標数０の代数閉体上定義された非特異射影多様体上のベクトル束のコホモロジー群の次元について上からの評価式を証明し、安定ベクトル束のモジュライ空間のBrill-Noether軌跡が空でないための必要条件を導いた。またこの結果の系として、最近の超弦理論に現れる３次元Calabi-Yau多様体上の安定束の3次チャーン類に関するBogomolov-Gieseker型の不等式を証明することに成功した。これらの結果がもし有限体の場合にも成立すると安定束の存在に対して非常に強い制約を与えるため、今後一般Savin符号の存在問題への応用があると期待される。第二に、代数多様体上の反射層(即ち二重双対が元の層と同型になる層)を因子に制限することによって定義される新しいタイプの代数幾何符号を導入した。この符号はベクトル束によって定義される一般Savin符号の概念を更に一般化したものであり、従来より良いパラメーターをもつことが期待される。第三に、標数0の代数閉体上定義された代数多様体上の安定反射層の新しい構成法を開発した。特に層の変形理論を用いて、余次元2の閉部分スキームから第一チャーン類が0の階数2の安定反射層を構成できることを証明した。またこの手法を応用して、曲線上のファイバー構造を持つ3次元代数多様体上に多くの安定反射層の例を与えることができた。今後これらの存在定理を有限体の場合にまで拡張し、一般Savin符号の構成に応用する予定である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 前年度では代数曲面上のベクトル束から定まる一般Savin符号の研究をおこなったが、今年度では高次元代数多様体上の安定ベクトル束の存在問題を考察した。その結果、少なくとも基礎体の標数が0の代数閉体の場合には安定束の存在のための必要条件を明らかにすることが出来た。また、今年度ではベクトル束のみならず一般の反射層から符号を構成する着想に到った。代数多様体上の反射層は特異点をもったベクトル束と見做すことができるが、ベクトル束より構成が容易であるという利点をもつ。そのため、反射層から定まる符号はベクトル束の場合より大きな自由度をもつことが予想され、今後の一般Savin符号の研究に寄与することが期待される。以上の理由により、当研究はおおむね順調に推移していると考えられる。
Strategy for Future Research Activity	今年度の研究によって、標数0の基礎体上の高次元多様体の場合に安定ベクトル束の存在に関する必要条件が得られた。また、反射層を用いた代数幾何符号の構成が導入された。来年度以降ではこの成果に基づき、以下の様な方針で研究を推進したい。まず第一の目標は、今年度の研究で得られた安定ベクトル束の存在に関する必要条件を有限体上定義された代数多様体上の場合にまで一般化することである。特に任意次元のCalabi-Yau多様体の場合にBogomolov-Gieseker型不等式を証明し、一般Savin符号の存在に関する必要条件を求める予定である。次に、階数が2より大きい反射層の構成法を開発し、具体的な多様体上で安定反射層の存在を証明したい。最後に、反射層から定まる一般化Savin符号のパラメーターについての評価式を証明し、漸近的に良い性能をもつ符号列が構成可能かどうかを検証する予定である。
Causes of Carryover	(理由)平成29年度に於いて当初計画していた国内出張と海外出張を諸般の事情により取り止めざるを得なかった。そのため旅費に充当する予定だった研究費を次年度に繰り越す必要が生じた。 (使用計画)平成30年度では繰り越した額を東北大学で開催予定の弦理論に関する国際シンポジウムString-Mathへの出張・参加費用、計算機の能力を高めるためのグラフィックボードの購入費に充当する予定である。また、繰り越し分以外の予算については、九州大学、京都大学で開催される研究集会への出張費、日本数学会の会費、および代数幾何・符号理論関連の図書の購入費等の目的のために支出する予定である。