2016 Fiscal Year Research-status Report
イデアルと加群のRees代数のalmost Gorenstein性解析
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16K05112
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
後藤 四郎 明治大学, 理工学部, 名誉教授 (50060091)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
居相 真一郎 北海道教育大学, 教育学部, 准教授 (50333125)
松岡 直之 明治大学, 理工学部, 専任講師 (80440155)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 可換環論 / Cohen-Macaulay ring / Gorenstein ring / Almost Gorenstein ring / 2-almost Gorenstein ring / Sally module / Ulrich module |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，多様かつ豊富に存在するCohen-Macaulay環をGorenstein性との相違を指標に階層化し、可換環論に新たな展望を齎すことにある。平成28年度は，非Gorenstein Cohen-Macaulay環論の進化と発展を目指して，下記2課題に着手した。
課題① Rees代数のalmost Gorenstein性解析
課題② 2-almost Gorenstein環論の創始
課題①の原点は，1979年の研究代表者と下田保博との共同研究にあり，数多く存在するCohen-Macaulay Rees代数の中でもGorenstein環となるものは少数派であることが知られている。Rees代数のalmost Gorenstein性解析はRees代数の環構造論としても新たな地平を開くものである。課題①は，吉田健一，松岡直之，谷口直樹，M. Rahimi, L. H. L. Truongたちとの広範な共同研究として実施され，得られた成果はすでに4編の論文に纏められている。内2本はJ. Algebra，J. Pure Appl. Algebraに発表されている（残り2編は審査中）。
課題②は，課題①の研究の進捗に連れて浮上したalmost Gorenstein環論の拡張概念である2-almost Gorenstein環論の可能性を追求することを目的としている。得られた成果を纏めた2編の論文は，すでに国際数学専門誌に投稿され，審査中である。
研究代表者は，2016年9月に明治大学で開催された国際研究集会Japan-Vietnam workshop on Commutative Algebraと2016年11月に神奈川県葉山で開催された第38回可換環論シンポジウムに出席し，成果発表，情報収集，及び研究連絡に従事した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の予想を上回り平成28年度内に部分巴系イデアルや礎石イデアルのRees代数がalmost Gorenstein環となるための判定条件を得ることに成功した。また，2次元正則局所環（A, m）内の整閉イデアルに関するRees代数がalmost Gorenstein環であることも示している。この結果はcontracted idealsやpg-idealsへ自然に拡張されるものである。得られた成果は4編の論文に纏め，内2編はJ. Algebra，J. Pure Appl. Algebraに既に発表されている。残り2編は審査中である。
Almost Gorenstein環解析において，非almost Gorenstein環の理論は不可欠である。Hilbert係数によるalmost Gorenstein性の特徴付けを出発点に，almost Gorenstein環の拡張概念として2-almost Gorenstein環を導入し，基礎理論の整備を行った。成果を纏めた2編の論文は，既に投稿し，現在審査中である。
以上により，現在までの達成度は「当初の計画以上に進展している」と判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度以降は，almost Gorenstein環論, 2-almost Gorenstein環論のさらなる深化・発展・充実を目指し，未開拓問題に挑みながら関連する諸分野への浸透を図る。almost Gorenstein環論, 2-almost Gorenstein環論と有限Cohen-Macaulay表現型Cohen-Macaulay局所環との間の関連性の解明に従事する。予備的研究を開始していて，部分的な成果が得られつつある。
2次元正則局所環（A, m）内のm-準素イデアルに関するRees代数の理論を用いると、整閉な加群に関するRees代数もalmost Gorenstein環であることが従う。この事実は加群のRees代数のalmost Gorenstein性解析に一石を投じるものであり、非常に興味深い。上記課題と並行して，複数のイデアルや加群に随伴するRees代数のalmost Gorenstein性解析に着手する計画である。
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[Journal Article] Hilbert polynomials of j-transforms2016
Author(s)
Shiro Goto, Jooyoun Hong, Wolmer V. Vasconcelos
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Journal Title
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
Volume: 161
Pages: 305-337
DOI
Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
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