2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05117
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ラプラシアン / 固有値 / 微分形式 / 小さい固有値 / エッジ特異点 / 自己共役性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，コンパクト Riemann 多様体が特異点を持つ空間に収束した場合に，対応する微分形式に作用する Hodge-Laplacian の固有値の極限と極限空間の特異点集合の位相的・幾何学的性質との関係を明らかにすることである．特に，極限が0となる小さい固有値の存在について重点的に調べる．
実際，研究代表者は既に Colette Ann'e 氏（フランス，Nantes 大学）との共同研究で，コンパクト Riemann 多様体が錘型特異点を持つ空間に収束した際に，対応する Hodge-Laplacian の小さい固有値が錘の断面のトポロジーに応じて存在することを示している．
そこで，この事実が一般の特異点集合に対しても成立するかどうかを調べた．我々はまずエッジ特異点の場合，すなわち，底空間が閉多様体で各ファイバーが錘であるようなファイバー束の全空間に現れる特異点の場合を考察した．特に，底空間が1点の場合が錘型特異点なので，エッジ特異点は自然な高次元化である．
特異点付き空間で微分形式のスペクトル幾何学を展開するには，特異点を除いた正則集合上で解析を行えば良いのだが，この正則集合は一般に Riemann 多様体として非完備のため，完備多様体の場合に有効な結果や手法が使えないという困難が生じる．特に，Hodge-Laplacian の閉拡張の一意性が崩れる．
そこで，これらの問題の解決のため，特異空間上の de Rham-Hodge 理論など関連する論文を読み新たな知識や技術を取り入れることに努めた．さらに，Laplacian の自己共役性の専門家である正宗淳氏（北海道大学）と Melchior Wirth 氏（ドイツ，Jena大学）を招聘して，議論を行った．その結果，特別な場合には閉拡張の一意性が見えて来たが，完全な成果となるまでには至らなかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
「研究実績の概要」で述べた様に，我々の目標は小さい固有値の存在と特異点集合の位相的・幾何学的性質の関係を明らかにすることであるが，その際，特異間上の de Rham-Hodge 理論が重要な位置を占めることが判明した．
具体的には，特異点集合の次元を上げたエッジ特異点の場合，その複雑さから一般に解析を行うのが難しい．しかし，比較的易しい状況を仮定してしまうと，錘型特異点の場合と似た結果しか得られないので，新たな幾何学的現象を発見できない．そのため，ある程度特異点の状況を複雑にして解析を行わなくてはならないため，当初の予想よりも時間が掛かってしまった．
それでも，特異点集合から生じる新しい現象を見つけるために，本年度から特異空間上の de Rham-Hodge 理論を学び始めた．特異空間上の de Rham-Hodge 理論をよく理解することが，新しい現象の発見に向けた新しいアプローチになると考えている．そして，次年度以降にその成果が現れると期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」で述べた様に，我々の目標である小さい固有値の存在と特異点集合の位相的・幾何学的性質の関係を調べる上で，特異空間上の de Rham-Hodge 理論が重要な位置を占めることが判明した．
そのため，特異空間上の de Rham-Hodge 理論を学び始めたが，これはまだ未完成で，現在も多くの研究者によって盛んに研究されているテーマである．しかも，それぞれの研究者の立場により流儀の違いがあり，中々学び難い状況にある．それでも，近年の研究の進展からお互いの理論の関係を示す結果も得られており，以前に比べれば新たに研究する敷居が低くなったと感じている．それでも必要な道具がすべてが揃っているわけではないため，新たに調べなくてはならない箇所がある．
そこで，次年度では，我々の小さい固有値の幾何学に必要な部分に関して，特異空間上の de Rham-Hodge 理論の研究を行う．とくに，典型的な特異点の例について詳しく調べる．実際，一般論が示されたからと言って，具体的な例が直ぐに計算出来たり状況が良く分かることは少ないからである．この研究の遂行のため，特異空間上の de Rham-Hodge 理論の専門家と議論を行うことを考えている．
また，Laplacian の自己共役性に関して，正宗淳氏（北海道大学）と Melchior Wirth 氏（ドイツ，Jena 大学）と行った議論を深めて， Hodge-Laplacian に関する自己共役性に関する成果を得たいと考えている．そのため，お互いに e-mailで連絡を取り合ったり，訪問をする予定である．
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| Causes of Carryover |
本年度から新たに取り組んだ研究課題だが，想定していたことより難しく，一つ一つの問題への解決が遅れてしまった．そのため，研究成果発表を見込んだ旅費の使用額が当初の予定より少なくなった．
また，予定していた研究者の招聘費用が，別の費用により賄われることが出来たため，その分の研究費用が浮いた形となった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年度に予定していた研究者の招聘旅費の未使用額を，次年度の必要な経費として，平成29年度請求額と合わせて使用する予定である．
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