2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05117
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ホッジ・ラプラシアン / ホッジ理論 / 特異点 / L^2 調和形式 / L^2 ストークス定理 / 消滅定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，コンパクト特異点つき空間の微分形式に作用する Hodge-Laplacian の正固有値と特異点の幾何とトポロジーの関係を調べることである．本年度は，昨年度の研究を踏まえて，特異空間上の de Rham-Hodge 理論の研究を行った．特異空間上の Hodge-Laplacian の正の固有値を調べるためには，0 固有値の重複度や対応する固有形式（すなわち，調和形式）の理解が不可欠だからである．
しかし，通常の滑らかな多様体の場合とは異なり，特異空間上の de Rham-Hodge 理論はその特異点の状況により非常に複雑かつ難解である．例えば，特異点の最も基本的なモデルである錘特異点の場合でも，錘の頂点のリンクの中間次元のコホモロジー群が消えていない場合には，外微分作用素の閉拡張の一意性が崩れるため（L^2 Stokes 定理の不成立），考えるべき Hodge-Laplacian が複数現れる等の問題が生じる．
そこで本年度は，上述のような錘特異点のリンクの中間次元のコホモロジー群が消えていない場合に，調和形式の存在・非存在を調べる研究を行った．具体的には，n 次元トーラスの懸垂を考え，その非特異集合上に Ricci 曲率が正となるような捩じれ積型の Riemann 計量を入れる．このとき，非自明な L^2 調和 p-形式 (p=1,2,,,n) を具体的に構成した．特に，非自明な調和 1-形式が存在するので，非完備多様体では Bochner 型の消滅定理が成立しないことが分かった．この例は，L^2 Stokes 定理が成立しないことが鍵となっており，今後の研究を進めるにあたり重要な具体例になると思われる．
以上の研究成果を論文にまとめて投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目標は，コンパクト特異点つき空間の微分形式に作用する Hodge-Laplacian の正固有値と特異点の幾何とトポロジーの関係を調べることである．そのためには，特異空間上の de Rham-Hodge 理論やその具体例を詳しく知る必要があるが，未だ十分に解明されている状況ではない．特に，非特異集合の Riemann 計量を変化させると，L^2 コホモロジーや L^2 調和形式が変化するなど，滑らかな多様体の場合とは異なり，大変複雑で難しい問題が生じる．
この問題の解決のため，典型的な特異点のモデルである錘型特異点やその変種などの具体例において，L^2 調和形式の存在・非存在を調べる研究から出発した．その結果，非特異集合の Riemann 計量を変化させただけでも，特異点のリンクのトポロジーからの影響が変化するなど，L^2 調和形式の存在に新たな障害が生じることが分かった．特に，Bochner 型消滅定理も成立しないことも分かった．
この障害の鍵は L^2 Stokes 定理の不成立にあるため，さらにその成立条件についての研究を行ったが，完全な解決には至らなかった．
当初の想定よりも問題が複雑で難しいことが判明したが，その中でも新たな方策において進展が見られたため，現在までの進捗状況は「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き，コンパクト特異空間上の de Rham-Hodge 理論の研究，特に，本年度得られた懸垂空間の例を発展させた形の具体例に関する研究を行う．中でも，特異点集合が錘の頂点の 0次元から 1次元以上に上げたエッジ付き空間において，同様の事実の検証を行いたい．
近年，特異空間上の de Rham-Hodge 理論は大きく進展しているが，それは一般論においてであり，個々の具体的な空間に対してどのようになっているかを調べるのは，一般論の構成とは別の難しさがある．
また，Hodge-Laplacian の正の固有値を調べるためには，調和形式の存在・非存在が分かるだけでは不十分で，具体的な表示を得ることが必要となる．しかし，これらの具体的な形は殆ど分かっていない状況である．
さらに，Hodge-Laplacian のスペクトル幾何学も十分に確立しておらず，例えば，正の第 1固有値の評価なども不明な点が多い．特に，特異点のリンクのトポロジーの影響という観点から注目して研究を行いたい．
これらの研究の遂行のため，特異空間上の de Rham-Hodge 理論の専門家や関連する話題の専門家との議論を計画している．
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| Causes of Carryover |
平成29年度に予定していた出張を中止せざるえを無くなったため，その出張旅費が未使用で残った．
そのため，平成29年度に予定していた出張旅費の未使用額を次年度の必要な経費として，平成30年度請求額と合わせて使用する予定である．
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Research Products
(1 results)
