2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05117
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ホッジ・ラプラシアン / 固有値 / 微分形式 / リーマン多様体の崩壊 / リーマン沈め込み / ベッチ数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，まず，昨年度の研究で得られた，Ricci 曲率が正となる錘特異点付き空間の L^2 調和形式の存在と錘特異点のリンクのトポロジーの関係を調べた結果を論文として発表した．特に，非完備多様体では一般に Bochner 型の消滅定理が成立しないことが分かった．
次に，特異点集合の次元を0次元（孤立特異点）から1次元以上（非孤立特異点）に上げた場合の研究に取り組んだ．この典型的モデルはエッジ付き多様体と呼ばれ，ファイバーが錘特異点を持つようなファイバー束の全空間である．この研究ではファイバー束における微分形式の解析が不可欠であるが，一般の場合で解析するのは大変難しい．
そこで，まず特異点の無い滑らかな場合，すなわち，通常の Riemannian submersion（沈め込み）の崩壊の族からなる場合について研究を行った．ここで，ファイバーがスケール変換以外の潰れ方も許す点が重要である．実際，滑らかな場合でも，ファイバーがスケール変換以外の潰れ方も許す場合の解析は複雑で難しく，不明な点が多いからである．
具体的には，Riemannian submersion の族で，全空間の Riemann 計量が C^0 位相に関して底空間の Riemann 計量に収束する場合を考察した．この時，全空間の p次 Betti 数が底空間のそれより小さいとき，p-form に作用する Hodge-Laplacian は，0に収束する正の小さい固有値が存在することを証明した．こうして，Hodge-Laplacian の小さい固有値の存在と，多様体の Betti 数という多様体のトポロジーの関係を明らかにすることが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず，昨年度得られた研究成果を論文として発表できたことが最初の成果である．
次に，特異点集合の次元を0次元から1次元以上に上げた場合の研究に取り組んだ．ここで，ファイバー束の微分形式の解析という，特異点から生じる難しさではなく，通常の滑らかな場合でも生じる難しさに直面した．これは一般的な状況では非常に困難な問題であるが，状況を Riemannian submersion の族の崩壊と限定することで，上手く多様体の Betti 数の情報を引き出すことに成功した．
できればもう少し仮定を弱めたり，特異点に関する問題を解決したかったが，通常の滑らかな場合でも新しい成果と知見が得られたので，「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
目標は，コンパクト Riemann 多様体が特異点つき空間に収束するとき，対応する微分形式に作用する Hodge-Laplacian の正の固有値と特異点の幾何・トポロジーの関係を明らかにすることである．本年度に引き続き，特異点集合の次元を0次元（孤立特異点）から1次元以上（非孤立特異点）に上げた場合，特に，その典型例であるエッジ付き多様体について考察したい．
しかし，この研究ではファイバー束における微分形式の解析と幾何が大変複雑で，その様子を十分理解出来ている状況ではない．そこで，本年度後半から続けている Riemannian submersion での微分形式の解析をより進展させること，さらに，今後の研究に使えるように解析的な道具や技術を整備することに努める．そして，Betti 数よりも詳細なトポロジーや幾何学的な情報を引き出すことを目指す．
また，我々が以前に行った Riemann 多様体の崩壊と Hodge-Laplacian の固有値の収束に関する研究の手法が一部使えることが分かった．そこで，それらを効果的に用いること，さらに，以前の研究結果の拡張や深化についても同時に行いたい．
その一つの方法として，以前行った研究の共同研究者である Collete Ann'e 氏（フランス，ナント大学）と連絡を取って議論し，共同で研究を進められないかと考えている．
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| Causes of Carryover |
本年度に予定していた研究成果発表と研究打合せが，日程的な都合等により中止せざるを得なくなった．そのため，当初の予定より出張旅費が残る結果となった．
本年度に予定していた出張旅費の未使用額は，次年度の請求額と合わせて使用する予定である．
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