2021 Fiscal Year Annual Research Report
Studies of geometry of singularities and the eigenvalues of the Hodge-Laplacian
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16K05117
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ホッジ・ラプラシアン / ラフ・ラプラシアン / 微分形式 / 固有値 / 断面曲率 / 体積一定 / リーマン計量の変形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の成果の一つは，昨年度 Colette Ann'e 氏（フランス，ナント大学）との共同研究で得られた Hodge-Laplacian と粗 Laplacian の小さい固有値の研究成果を論文にまとめ投稿し，出版が確定したことである．
その成果は，任意のm次元閉多様体 M 上の p-形式に作用する Hodge-Laplacian と 粗 Laplacian の第k固有値が0に収束するような体積一定の Riemann 計量の列を構成したことである．具体的には，まず，m次元球面 S^m 上に上述の性質を持つ Riemann 計量の1-パラメーター族を構成する．さらに，球面の特性を活かすと，この計量族の断面曲率は非負に取ることが出来る．次に，この計量を備えた S^m を任意のm次元閉多様体 Mに旨く貼り付けると，一般の場合の計量の列が得られる．ただし，この貼り付けにおいて，断面曲率の有界性は保たれず，曲率が上下に発散してしまうのが課題であった．
そこで，本年度は任意の m次元閉多様体 M 上に，断面曲率が下にのみ有界で，第k固有値が0に収束するような体積一定の Riemann 計量の族の構成を行った．具体的には，M 内に埋め込まれた p次元球面 S^p (p≦m-2)で法束が自明な物を取り，その管状近傍を考える．ここに上述の S^m 上の非負の断面曲率を持つ Riemann 計量の族の構成方法を適用することにより，目標の Riemann 計量の族が得られる．
新しい計量族の構成方法は，以前の方法に比べると少し複雑であるが，固有値の貼り付け定理を必要としないため，証明が大幅に簡略化されたことも利点である．
ただし，これら 2つの Riemann 計量の族はいずれも直径が有界でないため，直径が有界な場合に，小さい固有値は存在するかどうかを調べるのが今後の課題である．
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