2016 Fiscal Year Research-status Report
非可換な群作用をもつラグランジュ部分多様体のFloerコホモロジー
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16K05120
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
入江 博 茨城大学, 理学部, 准教授 (30385489)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | トポロジー / Floerホモロジー / 旗多様体 / 対蹠集合 / ラグランジュ部分多様体 / 幾何学 / Mahler予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体の重要な不変量であるFloerホモロジーについて、本研究では、非可換な群作用をもつラグランジュ部分多様体に関する具体的な研究を主眼としている。研究計画の１年目である28年度は、主に以下の３つの成果があった。
１．複素旗多様体の実形は全測地的なラグランジュ部分多様体である。複素旗多様体の二つの実形の交叉を調べ、実形同士がハミルトン同位とは限らない場合にも、対のZ_2係数Floerホモロジーの計算を、標準的複素構造のregularityを仮定して実行できた。これは、井川治氏(京都工芸繊維大学)、奥田隆幸氏(広島大学)、酒井高司氏(首都大学東京)、田崎博之氏(筑波大学)との共同研究である。
２．ユークリッド空間の中心対称な凸体のvolume productの下からの評価に関する古典的未解決問題であるMahler予想について、３次元の場合に平面対称という付加条件を課して部分的に解決した。この研究は、柴田将敬氏(東京工業大学)との共同研究であり、国際学会Singularities Symmetries & Submanifoldsにおいて発表した。
３．ユークリッド空間内の単位超球面の等径超曲面のガウス写像による像(以下、ガウス像と呼ぶ)は、複素２次超曲面の単調なラグランジュ部分多様体を与える。このガウス像に関して(いくつかの系列を除いて)ハミルトンイソトピーの下ではずせないことを示した、Hui Ma氏(清華大学)、宮岡礼子氏(東北大学)、大仁田義裕氏(大阪市立大学)との共著論文が受理され、出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成28年度の研究計画の中心であった複素旗多様体の二つの実形の交叉については、当初計画に比べてやや進歩状況に遅れがみられるものの、着実に進行している。
また、研究実績の概要の項目２で述べたような、凸体の幾何学の分野の古典的な未解決問題であるMahler予想の部分的解決ができた。これは、本研究のテーマであるFloerホモロジーと密接な関係があるシンプレクティック不変量である、Hofer-Zehnder容量についてのOstroverの結果を検討する中で派生した研究である。このように、当初の研究計画では想定していなかった新しくより重要度の高い展開があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
項目１については、29年度に京都大学数理解析研究所において、田崎氏を代表とするRIMS共同研究(グループ型)「複素旗多様体内の実形の交叉と対蹠集合」に参画する。この機会を利用して複素旗多様体の二つの実形の交叉の研究の完成を急ぐ。
また、項目２のMahler予想について当初計画の想定を超えた重要な進展があったため、29年度はこの研究に最も重点を置き、平面対称という付加条件を外して３次元の場合の全面解決に向けた研究を進行させる。
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