2018 Fiscal Year Research-status Report
非可換な群作用をもつラグランジュ部分多様体のFloerコホモロジー
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16K05120
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
入江 博 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (30385489)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | トポロジー / Floerホモロジー / 旗多様体 / 対蹠集合 / 実形 / 幾何学 / Mahler予想 / 凸体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シンプレクティック多様体の不変量について、特に、平成28, 29年度の進展を踏まえた凸領域のHofer-Zehnder容量の重点的な研究を行った。研究計画の３年目である平成30年度は、主に以下の２つの成果があった。
１．複素旗多様体の実形のFloerホモロジーの研究については、平成29年度実質的に証明が完了しているが、２つの実形の位相型が異なる場合のZ_2係数Floerホモロジーの具体例の構成とともに論文作成を進めており、完成に近づいている。これは、井川治氏（京都工芸繊維大学）、奥田隆幸氏（広島大学）、酒井高司氏（首都大学東京）、田崎博之氏（筑波大学）との共同研究である。
２．ユークリッド空間の中心対称な凸体のvolume productの下からの最良評価の問題はMahler予想と呼ばれ、凸幾何学の分野の古典的未解決問題である。平成29年度、このMahler予想について３次元の場合を解決し等号成立条件も決定したが、その等号の特徴づけからある種の６次元凸領域のシンプレクティック剛性に関する結果が得られ、国際学会HAYAMA Symposium on Complex Analysis in Several Variables XX & Pacific Rim Complex-Symplectic Geometry Conferenceにおいて発表した。また、Mahler予想をSO(n)の部分群Gの作用つきの場合に一般化して定式化し、特に３次元の場合、かなりの離散部分群Gに関して結果を得た。以上は、柴田将敬氏（東京工業大学）との共同研究であり、現在論文を準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
凸シンプレクティック領域のHofer-Zehnder容量に関する研究から派生して、平成28, 29年度に大きく進展させることができたMahler予想について、平成30年度はその枠組みを群作用つきに拡張することにより、さらに研究を推進している。これにより問題の難しさを見通し良く整理できたことは大きい。
また、柴田氏との３次元Mahler予想の解決（arXiv:1706.01749）は凸幾何学の複数の専門家の講演の中でも取り上げられたり、当論文のいくつかのステップの別証明を与えるM. Fradelizi他４名によるプレプリント（arXiv:1904.10765）が発表されるなど、すでに国際的な波及効果も出ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
シンプレクティック多様体の不変量について、当初はラグランジュ部分多様体のFloerコホモロジーを主眼に研究計画の立案を行っていた。平成30年度と同様、Mahler予想に関する進展の重要性に鑑み、当初29年度から31年度の研究実施計画であった研究を保留し、凸シンプレクティック領域のHofer-Zehnder容量の研究、特にMahler予想を中心に推進する。
項目２については、まず群作用つきの場合の柴田氏との共著論文の完成を急ぐ。合わせてMahler予想へのシンプレクティック幾何からのアプローチについて検討する。また、令和元年度は研究実施期間の最終年度にあたり、９月にチェコおよびドイツで行われる国際学会において、柴田氏と分担して研究成果の発表を行う。
項目１については、平成30年度中に論文の完成を予定していた。完成に近づいているが、少し遅れが出ている。他４名の共同研究者との連絡をより密に取ることにより原稿の完成を急ぐ。
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| Causes of Carryover |
令和元年度に海外での複数の国際学会への参加および研究成果の発表を予定しており、研究打合せの効率化による回数の削減など平成30年度の費用を節約したために次年度使用額が生じた。９月にチェコ、ドイツおよび台湾で開催される国際学会への外国旅費として使用する。
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