2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05122
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
関口 英子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50281134)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半単純リー群の既約ユニタリ表現は，1940 年代より 70 年以上にわたる深い研究がなされて，既約表現のいくつかの重要な系列は代数・解析・幾何の様々な手法を用いて発見・構成されている．一方，既約ユニタリ表現の分類は大きな未解決問題として我々の前に立ちはだかっている．その困難の一因は，無限次元表現のうち，特異な振る舞いをするものが存在することにある．
本研究では当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」を発展させ，非コンパクトな複素多様体における積分幾何によって，特異なユニタリ表現の二つのモデルが結びつく原理の解明を目指す．
Berger の分類理論における半ケーラー対称空間 X とは，単純リー群 G の対称空間 G/H であって，その固定部分群 L がコンパクトな 1 次元の中心を含むものである．半ケーラー多様体の典型例は G=SU(p,q), H=S(U(k)xU(p-k,q)) としたときの不定値グラスマン多様体である．本研究では，この半ケーラー多様体を対象とし，X 上の正則直線束 L に値を持つ k 次 \bar \partial 閉形式を k 次元のコンパクト複素部分多様体上で積分することによって，サイクルをパラメトライズする多様体 Z (サイクル空間)上の(ベクトル束 V 値の)函数が得られる．H*(X,L) \to H*(Z,V) の対応が（一般化された意味での）Radon--Penrose 変換であるが，この変換の像と核を表現論を援用して具体的に決定した．
最新の結果を 2017 年のトポロジー火曜セミナーとリー群論・表現論セミナーの合同セミナー（東京大学），2018 年のTokyo-Lyon Conference で成果発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである．前年度までの研究成果をふまえて，研究目的を達成するための次のステップとして，Radon--Penrose 変換の像と核を表現論を援用して具体的に決定した．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度までの研究をふまえて，今後の研究目標として，高次元の Radon--Penrose 変換の像のみたす偏微分方程式を決定することを考えている．
最初のステップとして，余随伴楕円軌道の幾何的量子化として得られたフレッシェ空間の連続表現 V に対し，その K 有限ベクトルからなる稠密な部分空間 V_K の上のリー環の作用を調べ，(g,K) 加群のカテゴリーで代数的に構成された Zuckerman--Vogan 導来函手加群とV_K との同型対応を与えたいと考えている．
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Research Products
(2 results)
