積分幾何を用いた簡約リー群の無限次元表現の研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05122
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 関口 英子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50281134)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何

Outline of Annual Research Achievements

非コンパクトな半単純リー群の既約表現は，その殆どが無限次元の表現である。その中で，不変な内積をもつものは，ヒルベルト空間上の既約ユニタリ表現を定める。その分類理論は，1940 年代に SL(2,R)および SL(2,C)に対して行われて以来，70年以上にわたって多くの研究がなされているが，まだ完全な分類は完成していない。その困難の一因は，既約な無限次元表現の多くのものはパラメータ付きで構成されるが，パラメータが特異点に到達すると，その後の振る舞いを理解することが難しくなることにある。
本研究は，ある系列の特異な既約ユニタリ表現を幾何的に理解しようとするものであり，当該研究代表者が従来より取り組んできた「複素多様体におけるペンローズ変換による無限次元表現の研究」を発展させ，非コンパクトな複素多様体における積分幾何によって，特異なユニタリ表現の二つのモデルが結びつく原理の解明を目指している。
不定値ユニタリ群の退化した2種類の余随伴楕円軌道の幾何的量子化として得られた連続表現に対し，それぞれのペンローズ変換の像を比較することで、両者の関係を見出すという手法の研究を行い，得られた結果の論文を現在執筆中である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである。
前年度までの研究成果をふまえて，研究目的を達成するためのステップとして，2つの退化した余随伴楕円軌道の幾何的量子化として得られたフレッシェ空間の連続表現を比較するためにペンローズ変換を用いるという研究を行い，その間の非自明な同型を見出した。

Strategy for Future Research Activity

前年度までの研究をふまえて，今後の研究目標として，異なる複素多様体からのペンローズ変換の像のみたす微分方程式がどのような場合に関係性をもつかを調べる。また，国内外の研究集会のうちの重要なものに積極的に参加し，最先端の情報を交換する。